MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadaddlem 16499
Description: Lemma for sadadd 16500. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadaddlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadaddlem.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadaddlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sadaddlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
sadaddlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadaddlem (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadaddlem
StepHypRef Expression
1 2nn 12336 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 sadaddlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 14280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12637 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6 sadaddlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
7 inss1 4244 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
8 bitsss 16459 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
97, 8sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
10 fzofi 14011 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
11 inss2 4245 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
14 elfpw 9391 . . . . . . . . . . 11 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
159, 13, 14mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
16 bitsf1o 16478 . . . . . . . . . . . . 13 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20 sadaddlem.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
2120feq1i 6727 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2219, 21mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2322ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2415, 23mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2524nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
266, 25zsubcld 12724 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
27 sadaddlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
28 inss1 4244 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐵)
29 bitsss 16459 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3028, 29sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
31 inss2 4245 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3310, 31, 32mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
34 elfpw 9391 . . . . . . . . . . 11 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3530, 33, 34mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
3622ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
3927, 38zsubcld 12724 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
4020fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
416, 4zmodcld 13928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
4241fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))))
43 bitsmod 16469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
446, 3, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
4542, 44eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
46 f1ocnvfv 7297 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4716, 41, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4845, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
4940, 48eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
5049oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
5150oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
526zred 12719 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
534nnrpd 13072 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
54 moddifz 13919 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5552, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5651, 55eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
574nnne0d 12313 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ≠ 0)
58 dvdsval2 16289 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
595, 57, 26, 58syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))))
6120fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6227, 4zmodcld 13928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
6362fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))))
64 bitsmod 16469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6527, 3, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6663, 65eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
67 f1ocnvfv 7297 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
6816, 62, 67sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
6966, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
7061, 69eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
7170oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))))
7271oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
7327zred 12719 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
74 moddifz 13919 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
7573, 53, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
7672, 75eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
77 dvdsval2 16289 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
785, 57, 39, 77syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
805, 26, 39, 60, 79dvds2addd 16325 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
816zcnd 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8227zcnd 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8324nn0cnd 12586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8437nn0cnd 12586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8581, 82, 83, 84addsub4d 11664 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))) = ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
8680, 85breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
876, 27zaddcld 12723 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
8825, 38zaddcld 12723 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
89 moddvds 16297 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
904, 87, 88, 89syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
9186, 90mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
9329a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
94 sadaddlem.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
9592, 93, 94, 3, 20sadadd3 16494 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
96 inss1 4244 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵))
97 sadcl 16495 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
988, 29, 97mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
9996, 98sstri 4004 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
100 inss2 4245 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
101 ssfi 9211 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10210, 100, 101mp2an 692 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
103 elfpw 9391 . . . . . . . 8 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
10499, 102, 103mpbir2an 711 . . . . . . 7 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
10522ffvelcdmi 7102 . . . . . . 7 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
106104, 105mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
107106nn0red 12585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
108106nn0ge0d 12587 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
10920fveq1i 6907 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
110109fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
111106fvresd 6926 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
112104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
113 f1ocnvfv2 7296 . . . . . . . . . 10 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
11416, 112, 113sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
115110, 111, 1143eqtr3a 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
116115, 100eqsstrdi 4049 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
117106nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
118 bitsfzo 16468 . . . . . . . 8 (((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
119117, 3, 118syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
120116, 119mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
121 elfzolt2 13704 . . . . . 6 ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
122120, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
123 modid 13932 . . . . 5 ((((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
124107, 53, 108, 122, 123syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
12591, 95, 1243eqtr2d 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
126125fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
127126, 115eqtr2d 2775 1 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  caddwcad 1602  wcel 2105  wne 2937  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  cres 5690  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  1oc1o 8497  2oc2o 8498  Fincfn 8983  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  seqcseq 14038  cexp 14098  cdvds 16286  bitscbits 16452   sadd csad 16453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-had 1590  df-cad 1603  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-bits 16455  df-sad 16484
This theorem is referenced by:  sadadd  16500
  Copyright terms: Public domain W3C validator