MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadaddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadaddlem 16407
Description: Lemma for sadadd 16408. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadaddlem.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (bitsβ€˜π΄), π‘š ∈ (bitsβ€˜π΅), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadaddlem.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadaddlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
sadaddlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
sadaddlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadaddlem (πœ‘ β†’ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) = (bitsβ€˜((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadaddlem
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
3 sadaddlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nnexpcld 14208 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
54nnzd 12585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
6 sadaddlem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
7 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
8 bitsss 16367 . . . . . . . . . . . 12 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
97, 8sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0
10 fzofi 13939 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
11 inss2 4230 . . . . . . . . . . . 12 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
12 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
14 elfpw 9354 . . . . . . . . . . 11 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
159, 13, 14mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)
16 bitsf1o 16386 . . . . . . . . . . . . 13 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
18 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
20 sadaddlem.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
2120feq1i 6709 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2219, 21mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2322ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2415, 23mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2524nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
266, 25zsubcld 12671 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€)
27 sadaddlem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
28 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (bitsβ€˜π΅)
29 bitsss 16367 . . . . . . . . . . . 12 (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0
3028, 29sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0
31 inss2 4230 . . . . . . . . . . . 12 ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
32 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3310, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
34 elfpw 9354 . . . . . . . . . . 11 (((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3530, 33, 34mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)
3622ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3837nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
3927, 38zsubcld 12671 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€)
4020fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
416, 4zmodcld 13857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0)
4241fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))))
43 bitsmod 16377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
446, 3, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
4542, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))
46 f1ocnvfv 7276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4716, 41, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4845, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
4940, 48eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
5049oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))))
5150oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
526zred 12666 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
534nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
54 moddifz 13848 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
5552, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
5651, 55eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
574nnne0d 12262 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
58 dvdsval2 16200 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) β‰  0 ∧ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
595, 57, 26, 58syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))))
6120fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))
6227, 4zmodcld 13857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0)
6362fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))))
64 bitsmod 16377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))
6527, 3, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))
67 f1ocnvfv 7276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐡 mod (2↑𝑁)) ∈ β„•0) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐡 mod (2↑𝑁))))
6816, 62, 67sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 mod (2↑𝑁))) = ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐡 mod (2↑𝑁))))
6966, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐡 mod (2↑𝑁)))
7061, 69eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐡 mod (2↑𝑁)))
7170oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 βˆ’ (𝐡 mod (2↑𝑁))))
7271oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐡 βˆ’ (𝐡 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
7327zred 12666 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
74 moddifz 13848 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡 βˆ’ (𝐡 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
7573, 53, 74syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ (𝐡 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
7672, 75eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
77 dvdsval2 16200 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) β‰  0 ∧ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
785, 57, 39, 77syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))))
805, 26, 39, 60, 79dvds2addd 16235 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))))))
816zcnd 12667 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8227zcnd 12667 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8324nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
8437nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
8581, 82, 83, 84addsub4d 11618 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) βˆ’ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))))) = ((𝐴 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐡 βˆ’ (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))))))
8680, 85breqtrrd 5177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((𝐴 + 𝐡) βˆ’ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁))))))
876, 27zaddcld 12670 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„€)
8825, 38zaddcld 12670 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€)
89 moddvds 16208 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ β„• ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„€ ∧ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„€) β†’ (((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ ((𝐴 + 𝐡) βˆ’ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))))))
904, 87, 88, 89syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ ((𝐴 + 𝐡) βˆ’ ((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))))))
9186, 90mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
928a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
9329a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0)
94 sadaddlem.c . . . . 5 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (bitsβ€˜π΄), π‘š ∈ (bitsβ€˜π΅), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
9592, 93, 94, 3, 20sadadd3 16402 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((πΎβ€˜((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
96 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† ((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅))
97 sadcl 16403 . . . . . . . . . 10 (((bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) βŠ† β„•0)
988, 29, 97mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) βŠ† β„•0
9996, 98sstri 3992 . . . . . . . 8 (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0
100 inss2 4230 . . . . . . . . 9 (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
101 ssfi 9173 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10210, 100, 101mp2an 691 . . . . . . . 8 (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
103 elfpw 9354 . . . . . . . 8 ((((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
10499, 102, 103mpbir2an 710 . . . . . . 7 (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)
10522ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 ((((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
106104, 105mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
107106nn0red 12533 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
108106nn0ge0d 12535 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))))
10920fveq1i 6893 . . . . . . . . . 10 (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))
110109fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))))
111106fvresd 6912 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))))
112104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
113 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . 10 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))
11416, 112, 113sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))
115110, 111, 1143eqtr3a 2797 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))
116115, 100eqsstrdi 4037 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
117106nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
118 bitsfzo 16376 . . . . . . . 8 (((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
119117, 3, 118syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
120116, 119mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
121 elfzolt2 13641 . . . . . 6 ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
122120, 121syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
123 modid 13861 . . . . 5 ((((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) β†’ ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))))
124107, 53, 108, 122, 123syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))))
12591, 95, 1243eqtr2d 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁)) = (πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁))))
126125fveq2d 6896 . 2 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)))))
127126, 115eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ (((bitsβ€˜π΄) sadd (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^𝑁)) = (bitsβ€˜((𝐴 + 𝐡) mod (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  bitscbits 16360   sadd csad 16361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392
This theorem is referenced by:  sadadd  16408
  Copyright terms: Public domain W3C validator