MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadaddlem 16440
Description: Lemma for sadadd 16441. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadaddlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadaddlem.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadaddlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sadaddlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
sadaddlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadaddlem (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadaddlem
StepHypRef Expression
1 2nn 12315 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 sadaddlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 14239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12615 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
6 sadaddlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
7 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
8 bitsss 16400 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
97, 8sstri 3989 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
10 fzofi 13971 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
11 inss2 4230 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12 ssfi 9197 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
14 elfpw 9378 . . . . . . . . . . 11 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
159, 13, 14mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
16 bitsf1o 16419 . . . . . . . . . . . . 13 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18 f1of 6839 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20 sadaddlem.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
2120feq1i 6713 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2219, 21mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2322ffvelcdmi 7093 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2415, 23mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2524nn0zd 12614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
266, 25zsubcld 12701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
27 sadaddlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
28 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐵)
29 bitsss 16400 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3028, 29sstri 3989 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
31 inss2 4230 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32 ssfi 9197 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3310, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
34 elfpw 9378 . . . . . . . . . . 11 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3530, 33, 34mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
3622ffvelcdmi 7093 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
3927, 38zsubcld 12701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
4020fveq1i 6898 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
416, 4zmodcld 13889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
4241fvresd 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))))
43 bitsmod 16410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
446, 3, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
4542, 44eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
46 f1ocnvfv 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4716, 41, 46sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
4845, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
4940, 48eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
5049oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
5150oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
526zred 12696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
534nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
54 moddifz 13880 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5552, 53, 54syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5651, 55eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
574nnne0d 12292 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ≠ 0)
58 dvdsval2 16233 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
595, 57, 26, 58syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))))
6120fveq1i 6898 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6227, 4zmodcld 13889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
6362fvresd 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))))
64 bitsmod 16410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6527, 3, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
6663, 65eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
67 f1ocnvfv 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
6816, 62, 67sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
6966, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
7061, 69eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
7170oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))))
7271oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
7327zred 12696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
74 moddifz 13880 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
7573, 53, 74syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
7672, 75eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
77 dvdsval2 16233 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
785, 57, 39, 77syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
805, 26, 39, 60, 79dvds2addd 16268 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
816zcnd 12697 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8227zcnd 12697 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8324nn0cnd 12564 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8437nn0cnd 12564 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8581, 82, 83, 84addsub4d 11648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))) = ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
8680, 85breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
876, 27zaddcld 12700 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
8825, 38zaddcld 12700 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
89 moddvds 16241 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
904, 87, 88, 89syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
9186, 90mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
9329a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
94 sadaddlem.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
9592, 93, 94, 3, 20sadadd3 16435 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
96 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵))
97 sadcl 16436 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
988, 29, 97mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
9996, 98sstri 3989 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
100 inss2 4230 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
101 ssfi 9197 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10210, 100, 101mp2an 691 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
103 elfpw 9378 . . . . . . . 8 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
10499, 102, 103mpbir2an 710 . . . . . . 7 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
10522ffvelcdmi 7093 . . . . . . 7 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
106104, 105mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
107106nn0red 12563 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
108106nn0ge0d 12565 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
10920fveq1i 6898 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
110109fveq2i 6900 . . . . . . . . 9 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
111106fvresd 6917 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
112104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
113 f1ocnvfv2 7286 . . . . . . . . . 10 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
11416, 112, 113sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
115110, 111, 1143eqtr3a 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
116115, 100eqsstrdi 4034 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
117106nn0zd 12614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
118 bitsfzo 16409 . . . . . . . 8 (((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
119117, 3, 118syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
120116, 119mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
121 elfzolt2 13673 . . . . . 6 ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
122120, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
123 modid 13893 . . . . 5 ((((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
124107, 53, 108, 122, 123syl22anc 838 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
12591, 95, 1243eqtr2d 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
126125fveq2d 6901 . 2 (𝜑 → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
127126, 115eqtr2d 2769 1 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  caddwcad 1600  wcel 2099  wne 2937  cin 3946  wss 3947  c0 4323  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5677  cres 5680  wf 6544  1-1-ontowf1o 6547  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  1oc1o 8479  2oc2o 8480  Fincfn 8963  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474   / cdiv 11901  cn 12242  2c2 12297  0cn0 12502  cz 12588  +crp 13006  ..^cfzo 13659   mod cmo 13866  seqcseq 13998  cexp 14058  cdvds 16230  bitscbits 16393   sadd csad 16394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-had 1588  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-bits 16396  df-sad 16425
This theorem is referenced by:  sadadd  16441
  Copyright terms: Public domain W3C validator