Theorem ltrniotacnvval 38523

Description: Converse value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotacnvval	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹‘𝑄) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotacnvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		ltrniotaval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ltrniotaval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		ltrniotaval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		ltrniotaval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		ltrniotaval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
7	2, 3, 4, 5, 6	ltrniotacl 38520	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 4, 5	ltrn1o 38065	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
10	1, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
11		simp2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	8, 3	atbase 37230	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
14	10, 13	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)))
15	2, 3, 4, 5, 6	ltrniotaval 38522	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)
16		f1ocnvfv 7131	. 2 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑄 → (◡𝐹‘𝑄) = 𝑃))
17	14, 15, 16	sylc 65	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹‘𝑄) = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  Basecbs 16840  lecple 16895  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  cdlemn9  39146  dihjatcclem3  39361