MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fctop2 22371
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (This version of fctop 22370 requires the Axiom of Infinity.) (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fctop2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem fctop2
StepHypRef Expression
1 isfinite 9593 . . . 4 ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ί Ο‰)
21orbi1i 913 . . 3 (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…))
32rabbii 3412 . 2 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}
4 fctop 22370 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
53, 4eqeltrrid 2839 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βˆ– cdif 3908  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803   β‰Ί csdm 8885  Fincfn 8886  TopOnctopon 22275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-top 22259  df-topon 22276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator