MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cctop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cctop 22853
Description: The countable complement topology on a set 𝐴. Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem cctop
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 4109 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦))
21breq1d 5149 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰))
3 eqeq1 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
42, 3orbi12d 915 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…)))
5 uniss 4908 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
6 ssrab2 4070 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴
7 sspwuni 5094 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
86, 7mpbi 229 . . . . . . . 8 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴
95, 8sstrdi 3987 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10 vuniex 7723 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑦 ∈ V
1110elpw 4599 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
129, 11sylibr 233 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13 uni0c 4929 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1413notbii 320 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
15 rexnal 3092 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1614, 15bitr4i 278 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ…)
17 ssel2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
18 difeq2 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑧))
1918breq1d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰))
20 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑧 = βˆ…))
2119, 20orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2221elrab 3676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2317, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2423simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…))
2524ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ β†’ 𝑧 = βˆ…))
2625con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰))
2726imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰)
28 ctex 8956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ V)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ V)
30 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
31 elssuni 4932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝑦)
32 sscon 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 βŠ† βˆͺ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧))
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧))
34 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ V β†’ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό (𝐴 βˆ– 𝑧)))
3529, 33, 34sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό (𝐴 βˆ– 𝑧))
36 domtr 9000 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό (𝐴 βˆ– 𝑧) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰)
3735, 36sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰)
3827, 37mpdan 684 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰)
3938rexlimdva2 3149 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰))
4016, 39biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰))
4140con1d 145 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
4241orrd 860 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
434, 12, 42elrabd 3678 . . . . 5 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
4443ax-gen 1789 . . . 4 βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
45 difeq2 4109 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑦))
4645breq1d 5149 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰))
47 eqeq1 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
4846, 47orbi12d 915 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…)))
4948elrab 3676 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…)))
50 ssinss1 4230 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
51 vex 3470 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
5251elpw 4599 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴)
5351inex1 5308 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
5453elpw 4599 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
5550, 52, 543imtr4i 292 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
5655ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
57 difindi 4274 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧))
58 unctb 10197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧)) β‰Ό Ο‰)
5957, 58eqbrtrid 5174 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰)
6059orcd 870 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
61 ineq1 4198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (βˆ… ∩ 𝑧))
62 0in 4386 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∩ 𝑧) = βˆ…
6361, 62eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
6463olcd 871 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
65 ineq2 4199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ βˆ…))
66 in0 4384 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∩ βˆ…) = βˆ…
6765, 66eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
6867olcd 871 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6960, 64, 68ccase2 1036 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…)) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
7069ad2ant2l 743 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
7156, 70jca 511 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) β‰Ό Ο‰ ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7249, 22, 71syl2anb 597 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
73 difeq2 4109 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)))
7473breq1d 5149 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰))
75 eqeq1 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
7674, 75orbi12d 915 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7776elrab 3676 . . . . . 6 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) β‰Ό Ο‰ ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7872, 77sylibr 233 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
7978rgen2 3189 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}
8044, 79pm3.2i 470 . . 3 (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
81 pwexg 5367 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
82 rabexg 5322 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V)
83 istopg 22741 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8481, 82, 833syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8580, 84mpbiri 258 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top)
86 difeq2 4109 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝐴))
87 difid 4363 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ– 𝐴) = βˆ…
8886, 87eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = βˆ…)
8988breq1d 5149 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ βˆ… β‰Ό Ο‰))
90 eqeq1 2728 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…))
9189, 90orbi12d 915 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ (βˆ… β‰Ό Ο‰ ∨ 𝐴 = βˆ…)))
92 pwidg 4615 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
93 omex 9635 . . . . . . . 8 Ο‰ ∈ V
94930dom 9103 . . . . . . 7 βˆ… β‰Ό Ο‰
9594orci 862 . . . . . 6 (βˆ… β‰Ό Ο‰ ∨ 𝐴 = βˆ…)
9695a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… β‰Ό Ο‰ ∨ 𝐴 = βˆ…))
9791, 92, 96elrabd 3678 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
98 elssuni 4932 . . . 4 (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
9997, 98syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
1008a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
10199, 100eqssd 3992 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)})
102 istopon 22758 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)}))
10385, 101, 102sylanbrc 582 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βˆͺ cun 3939   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  π’« cpw 4595  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Ο‰com 7849   β‰Ό cdom 8934  Topctop 22739  TopOnctopon 22756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-top 22740  df-topon 22757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator