Theorem fiminre2 12202

Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11257	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
2		rzal 4512	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦)
3		breq1 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
4	3	ralbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦))
5	4	rspcev 3611	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	6	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8		neqne 2945	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fiminre 12201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15		ssrexv 4051	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	9, 16	syldan 589	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18	7, 17	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  Fincfn 8972  ℝcr 11147  0cc0 11148   ≤ cle 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-addrcl 11209  ax-rnegex 11219  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294

This theorem is referenced by:  infrefilb  12240  infxrrefi  44811