Theorem fiminre2 12131

Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11177	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
2		rzal 4472	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦)
3		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
4	3	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦))
5	4	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8		neqne 2933	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fiminre 12130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15		ssrexv 4016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	9, 16	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18	7, 17	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  Fincfn 8918  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  infrefilb  12169  infxrrefi  45378