Theorem fiminre2 12107

Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11153	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
2		rzal 4468	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦)
3		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
4	3	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦))
5	4	rspcev 3585	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8		neqne 2933	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fiminre 12106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15		ssrexv 4013	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	9, 16	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18	7, 17	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  infrefilb  12145  infxrrefi  45371