MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiminre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiminre2 12166
Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiminre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre2
StepHypRef Expression
1 0red 11221 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
2 rzal 4503 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦)
3 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
43ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦))
54rspcev 3606 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
76adantl 481 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
8 neqne 2942 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
98adantl 481 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10 simpll 764 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 simplr 766 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13 fiminre 12165 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
15 ssrexv 4046 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
1610, 14, 15sylc 65 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
179, 16syldan 590 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
187, 17pm2.61dan 810 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141  Fincfn 8941  cr 11111  0cc0 11112  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258
This theorem is referenced by:  infrefilb  12204  infxrrefi  44664
  Copyright terms: Public domain W3C validator