MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiminre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiminre2 12037
Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiminre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre2
StepHypRef Expression
1 0red 11092 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
2 rzal 4465 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦)
3 breq1 5107 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
43ralbidv 3173 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦))
54rspcev 3580 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
61, 2, 5syl2anc 585 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
76adantl 483 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
8 neqne 2950 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
98adantl 483 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10 simpll 766 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13 fiminre 12036 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
15 ssrexv 4010 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
1610, 14, 15sylc 65 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
179, 16syldan 592 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
187, 17pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  wss 3909  c0 4281   class class class wbr 5104  Fincfn 8817  cr 10984  0cc0 10985  cle 11124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-addrcl 11046  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7794  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129
This theorem is referenced by:  infrefilb  12075  infxrrefi  43411
  Copyright terms: Public domain W3C validator