MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqvlem 9264
Description: Lemma for fineqv 9265. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqvlem ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem fineqvlem
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5376 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 481 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
32pwexd 5377 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 ssrab2 4077 . . . . 5 {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴
5 elpw2g 5344 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
74, 6mpbiri 257 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴)
87a1d 25 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑏 ∈ ω → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴))
9 isinf 9262 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ ω ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
109r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ ω) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
1110ad2ant2lr 746 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
12 velpw 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝐴)
1312biimpri 227 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐴𝑒 ∈ 𝒫 𝐴)
1413anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
15 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑏𝑒𝑏))
1615elrab 3683 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
1817eximi 1837 . . . . . . 7 (∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
1911, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
20 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2120biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2316simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → 𝑒𝑏)
24 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑐𝑒𝑐))
2524elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑐))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒𝑐)
27 ensym 9001 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑏𝑏𝑒)
28 entr 9004 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑒𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
2927, 28sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝑏𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
3023, 26, 29syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}) → 𝑏𝑐)
3130ex 413 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
33 nneneq 9211 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3433biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3534ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3622, 32, 353syld 60 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
3719, 36exlimddv 1938 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
38 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑𝑏𝑑𝑐))
3938rabbidv 3440 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐})
4037, 39impbid1 224 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐))
4140ex 413 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐)))
428, 41dom2d 8991 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
433, 42mpd 15 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ωcom 7857  cen 8938  cdom 8939  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  fineqv  9265  isfin1-2  10382
  Copyright terms: Public domain W3C validator