MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqvlem 9213
Description: Lemma for fineqv 9214. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqvlem ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem fineqvlem
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5338 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 482 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
32pwexd 5339 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 ssrab2 4042 . . . . 5 {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴
5 elpw2g 5306 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
74, 6mpbiri 258 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴)
87a1d 25 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑏 ∈ ω → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴))
9 isinf 9211 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ ω ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
109r19.21bi 3237 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ ω) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
1110ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
12 velpw 4570 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝐴)
1312biimpri 227 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐴𝑒 ∈ 𝒫 𝐴)
1413anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
15 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑏𝑒𝑏))
1615elrab 3650 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
1817eximi 1838 . . . . . . 7 (∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
1911, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
20 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2120biimpcd 249 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2221adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2316simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → 𝑒𝑏)
24 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑐𝑒𝑐))
2524elrab 3650 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑐))
2625simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒𝑐)
27 ensym 8950 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑏𝑏𝑒)
28 entr 8953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑒𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
2927, 28sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝑏𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
3023, 26, 29syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}) → 𝑏𝑐)
3130ex 414 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
33 nneneq 9160 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3433biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3534ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3622, 32, 353syld 60 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
3719, 36exlimddv 1939 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
38 breq2 5114 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑𝑏𝑑𝑐))
3938rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐})
4037, 39impbid1 224 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐))
4140ex 414 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐)))
428, 41dom2d 8940 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
433, 42mpd 15 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448  wss 3915  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  ωcom 7807  cen 8887  cdom 8888  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  fineqv  9214  isfin1-2  10328
  Copyright terms: Public domain W3C validator