Theorem fmlan0 35896

Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fmlan0	⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmlaomn0 35895	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2		df-nel 3067	. . . 4 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
4	3	nrex 3095	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5		df-nel 3067	. . 3 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6		fmla 35886	. . . . 5 ⊢ (Fmla‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
7	6	eleq2i 2857	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8		eliun 4962	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
10	5, 9	xchbinx 337	. 2 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
11	4, 10	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ∪ ciun 4958  ‘cfv 6540  ωcom 7864  Fmlacfmla 35842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-map 8828  df-goel 35845  df-gona 35846  df-goal 35847  df-sat 35848  df-fmla 35850

This theorem is used by: (None)