Theorem fmlan0 36135

Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fmlan0	⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmlaomn0 36134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2		df-nel 3063	. . . 4 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
4	3	nrex 3091	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5		df-nel 3063	. . 3 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6		fmla 36125	. . . . 5 ⊢ (Fmla‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
7	6	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8		eliun 4955	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
10	5, 9	xchbinx 337	. 2 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
11	4, 10	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∃wrex 3087  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  ‘cfv 6537  ωcom 7875  Fmlacfmla 36081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-map 8842  df-goel 36084  df-gona 36085  df-goal 36086  df-sat 36087  df-fmla 36089

This theorem is used by: (None)