Theorem fmlan0 33066

Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fmlan0	⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmlaomn0 33065	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2		df-nel 3047	. . . 4 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
4	3	nrex 3188	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5		df-nel 3047	. . 3 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6		fmla 33056	. . . . 5 ⊢ (Fmla‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
7	6	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8		eliun 4908	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
10	5, 9	xchbinx 337	. 2 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
11	4, 10	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3046  ∃wrex 3062  ∅c0 4237  ∪ ciun 4904  ‘cfv 6380  ωcom 7644  Fmlacfmla 33012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-map 8510  df-goel 33015  df-gona 33016  df-goal 33017  df-sat 33018  df-fmla 33020

This theorem is referenced by: (None)