Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmlan0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmlan0 35375
Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmlan0 ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0
StepHypRef Expression
1 fmlaomn0 35374 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2 df-nel 3044 . . . 4 (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
31, 2sylib 218 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
43nrex 3071 . 2 ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5 df-nel 3044 . . 3 (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6 fmla 35365 . . . . 5 (Fmla‘ω) = 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
76eleq2i 2830 . . . 4 (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8 eliun 4999 . . . 4 (∅ ∈ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
97, 8bitri 275 . . 3 (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
105, 9xchbinx 334 . 2 (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
114, 10mpbir 231 1 ∅ ∉ (Fmla‘ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2105  wnel 3043  wrex 3067  c0 4338   ciun 4995  cfv 6562  ωcom 7886  Fmlacfmla 35321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-map 8866  df-goel 35324  df-gona 35325  df-goal 35326  df-sat 35327  df-fmla 35329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator