Theorem fmlan0 36243

Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fmlan0	⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmlaomn0 36242	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
4	3	nrex 3090	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6		fmla 36233	. . . . 5 ⊢ (Fmla‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
7	6	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8		eliun 4954	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
10	5, 9	xchbinx 337	. 2 ⊢ (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
11	4, 10	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∉ (Fmla‘ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  ∪ ciun 4950  ‘cfv 6539  ωcom 7878  Fmlacfmla 36189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-map 8853  df-goel 36192  df-gona 36193  df-goal 36194  df-sat 36195  df-fmla 36197

This theorem is used by: (None)