Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmlan0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmlan0 32817
 Description: The empty set is not a Godel formula. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmlan0 ∅ ∉ (Fmla‘ω)

Proof of Theorem fmlan0
StepHypRef Expression
1 fmlaomn0 32816 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘𝑥))
2 df-nel 3092 . . . 4 (∅ ∉ (Fmla‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
31, 2sylib 221 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ¬ ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
43nrex 3229 . 2 ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥)
5 df-nel 3092 . . 3 (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∅ ∈ (Fmla‘ω))
6 fmla 32807 . . . . 5 (Fmla‘ω) = 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥)
76eleq2i 2881 . . . 4 (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∅ ∈ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥))
8 eliun 4889 . . . 4 (∅ ∈ 𝑥 ∈ ω (Fmla‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
97, 8bitri 278 . . 3 (∅ ∈ (Fmla‘ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
105, 9xchbinx 337 . 2 (∅ ∉ (Fmla‘ω) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (Fmla‘𝑥))
114, 10mpbir 234 1 ∅ ∉ (Fmla‘ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∃wrex 3107  ∅c0 4246  ∪ ciun 4885  ‘cfv 6332  ωcom 7573  Fmlacfmla 32763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-map 8409  df-goel 32766  df-gona 32767  df-goal 32768  df-sat 32769  df-fmla 32771 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator