| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 1n0 8527 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
1o ≠ ∅ | 
| 2 | 1 | neii 2941 | . . . . . . . . . . . 12
⊢  ¬
1o = ∅ | 
| 3 | 2 | intnanr 487 | . . . . . . . . . . 11
⊢  ¬
(1o = ∅ ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑖, 𝑗〉) | 
| 4 |  | 1oex 8517 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
1o ∈ V | 
| 5 |  | opex 5468 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
〈𝐴, 𝐵〉 ∈ V | 
| 6 | 4, 5 | opth 5480 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = 〈∅, 〈𝑖, 𝑗〉〉 ↔ (1o = ∅
∧ 〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑖, 𝑗〉)) | 
| 7 | 3, 6 | mtbir 323 | . . . . . . . . . 10
⊢  ¬
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = 〈∅, 〈𝑖, 𝑗〉〉 | 
| 8 |  | goel 35353 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑖∈𝑔𝑗) = 〈∅, 〈𝑖, 𝑗〉〉) | 
| 9 | 8 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) →
(〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗) ↔ 〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = 〈∅, 〈𝑖, 𝑗〉〉)) | 
| 10 | 7, 9 | mtbiri 327 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ¬
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗)) | 
| 11 | 10 | rgen2 3198 | . . . . . . . 8
⊢
∀𝑖 ∈
ω ∀𝑗 ∈
ω ¬ 〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗) | 
| 12 |  | ralnex2 3132 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑖 ∈
ω ∀𝑗 ∈
ω ¬ 〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 〈1o,
〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗)) | 
| 13 | 11, 12 | mpbi 230 | . . . . . . 7
⊢  ¬
∃𝑖 ∈ ω
∃𝑗 ∈ ω
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗) | 
| 14 | 13 | intnan 486 | . . . . . 6
⊢  ¬
(〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗)) | 
| 15 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 〈1o,
〈𝐴, 𝐵〉〉 → (𝑥 = (𝑖∈𝑔𝑗) ↔ 〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗))) | 
| 16 | 15 | 2rexbidv 3221 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 〈1o,
〈𝐴, 𝐵〉〉 → (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖∈𝑔𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 〈1o,
〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗))) | 
| 17 |  | fmla0 35388 | . . . . . . 7
⊢
(Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖∈𝑔𝑗)} | 
| 18 | 16, 17 | elrab2 3694 | . . . . . 6
⊢
(〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 ∈ (Fmla‘∅)
↔ (〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 = (𝑖∈𝑔𝑗))) | 
| 19 | 14, 18 | mtbir 323 | . . . . 5
⊢  ¬
〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 ∈
(Fmla‘∅) | 
| 20 |  | gonafv 35356 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴⊼𝑔𝐵) = 〈1o,
〈𝐴, 𝐵〉〉) | 
| 21 | 20 | eleq1d 2825 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴⊼𝑔𝐵) ∈ (Fmla‘∅)
↔ 〈1o, 〈𝐴, 𝐵〉〉 ∈
(Fmla‘∅))) | 
| 22 | 19, 21 | mtbiri 327 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ (𝐴⊼𝑔𝐵) ∈
(Fmla‘∅)) | 
| 23 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉) = (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉) | 
| 24 | 23 | dmmptss 6260 | . . . . . . . 8
⊢ dom
(𝑥 ∈ (V × V)
↦ 〈1o, 𝑥〉) ⊆ (V ×
V) | 
| 25 |  | relxp 5702 | . . . . . . . 8
⊢ Rel (V
× V) | 
| 26 |  | relss 5790 | . . . . . . . 8
⊢ (dom
(𝑥 ∈ (V × V)
↦ 〈1o, 𝑥〉) ⊆ (V × V) → (Rel (V
× V) → Rel dom (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉))) | 
| 27 | 24, 25, 26 | mp2 9 | . . . . . . 7
⊢ Rel dom
(𝑥 ∈ (V × V)
↦ 〈1o, 𝑥〉) | 
| 28 |  | df-gona 35347 | . . . . . . . . 9
⊢
⊼𝑔 = (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉) | 
| 29 | 28 | dmeqi 5914 | . . . . . . . 8
⊢ dom
⊼𝑔 = dom (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉) | 
| 30 | 29 | releqi 5786 | . . . . . . 7
⊢ (Rel dom
⊼𝑔 ↔ Rel dom (𝑥 ∈ (V × V) ↦
〈1o, 𝑥〉)) | 
| 31 | 27, 30 | mpbir 231 | . . . . . 6
⊢ Rel dom
⊼𝑔 | 
| 32 | 31 | ovprc 7470 | . . . . 5
⊢ (¬
(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴⊼𝑔𝐵) = ∅) | 
| 33 |  | peano1 7911 | . . . . . . . 8
⊢ ∅
∈ ω | 
| 34 |  | fmlaomn0 35396 | . . . . . . . 8
⊢ (∅
∈ ω → ∅ ∉ (Fmla‘∅)) | 
| 35 | 33, 34 | ax-mp 5 | . . . . . . 7
⊢ ∅
∉ (Fmla‘∅) | 
| 36 | 35 | neli 3047 | . . . . . 6
⊢  ¬
∅ ∈ (Fmla‘∅) | 
| 37 |  | eleq1 2828 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴⊼𝑔𝐵) = ∅ → ((𝐴⊼𝑔𝐵) ∈ (Fmla‘∅)
↔ ∅ ∈ (Fmla‘∅))) | 
| 38 | 36, 37 | mtbiri 327 | . . . . 5
⊢ ((𝐴⊼𝑔𝐵) = ∅ → ¬ (𝐴⊼𝑔𝐵) ∈
(Fmla‘∅)) | 
| 39 | 32, 38 | syl 17 | . . . 4
⊢ (¬
(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ (𝐴⊼𝑔𝐵) ∈
(Fmla‘∅)) | 
| 40 | 22, 39 | pm2.61i 182 | . . 3
⊢  ¬
(𝐴⊼𝑔𝐵) ∈
(Fmla‘∅) | 
| 41 |  | fveq2 6905 | . . . 4
⊢ (𝑁 = ∅ →
(Fmla‘𝑁) =
(Fmla‘∅)) | 
| 42 | 41 | eleq2d 2826 | . . 3
⊢ (𝑁 = ∅ → ((𝐴⊼𝑔𝐵) ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ (𝐴⊼𝑔𝐵) ∈
(Fmla‘∅))) | 
| 43 | 40, 42 | mtbiri 327 | . 2
⊢ (𝑁 = ∅ → ¬ (𝐴⊼𝑔𝐵) ∈ (Fmla‘𝑁)) | 
| 44 | 43 | necon2ai 2969 | 1
⊢ ((𝐴⊼𝑔𝐵) ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅) |