Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmlasssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmlasssuc 34679
Description: The Godel formulas of height 𝑁 are a subset of the Godel formulas of height 𝑁 + 1. (Contributed by AV, 20-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmlasssuc (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜π‘) βŠ† (Fmlaβ€˜suc 𝑁))

Proof of Theorem fmlasssuc
Dummy variables 𝑖 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 4172 . 2 (Fmlaβ€˜π‘) βŠ† ((Fmlaβ€˜π‘) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)})
2 fmlasuc 34676 . 2 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜suc 𝑁) = ((Fmlaβ€˜π‘) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}))
31, 2sseqtrrid 4035 1 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜π‘) βŠ† (Fmlaβ€˜suc 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆƒwrex 3069   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858  βŠΌπ‘”cgna 34624  βˆ€π‘”cgol 34625  Fmlacfmla 34627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-map 8825  df-goel 34630  df-goal 34632  df-sat 34633  df-fmla 34635
This theorem is referenced by:  gonarlem  34684  gonar  34685  goalrlem  34686  goalr  34687
  Copyright terms: Public domain W3C validator