Theorem fmlasssuc 35835

Description: The Godel formulas of height 𝑁 are a subset of the Godel formulas of height 𝑁 + 1. (Contributed by AV, 20-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fmlasssuc	⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘𝑁) ⊆ (Fmla‘suc 𝑁))

Proof of Theorem fmlasssuc

Dummy variables 𝑖 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4130	. 2 ⊢ (Fmla‘𝑁) ⊆ ((Fmla‘𝑁) ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘𝑁)𝑥 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑢)})
2		fmlasuc 35832	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) = ((Fmla‘𝑁) ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘𝑁)𝑥 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω 𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑢)}))
3	1, 2	sseqtrrid 3979	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘𝑁) ⊆ (Fmla‘suc 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3087   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7861  ⊼_𝑔cgna 35780  ∀_𝑔cgol 35781  Fmlacfmla 35783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-map 8825  df-goel 35786  df-goal 35788  df-sat 35789  df-fmla 35791

This theorem is referenced by:  gonarlem  35840  gonar  35841  goalrlem  35842  goalr  35843