Theorem gonarlem 35595

Description: Lemma for gonar 35596 (induction step). (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gonarlem	⊢ (𝑁 ∈ ω → (((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonarlem

Dummy variables 𝑖 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7835	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2		ovexd 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ V)
3		isfmlasuc 35589	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
6		fmlasssuc 35590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
8	7	sseld 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
9	7	sseld 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
10	8, 9	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
13	12	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (𝑁 ∈ ω → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
14	13	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
15		gonafv 35551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎⊼𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
16	15	el2v 3437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎⊼𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑎⊼𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
18		gonafv 35551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑢⊼𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
19	17, 18	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
20		1oex 8409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
21		opex 5412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
22	20, 21	opth 5425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
23	19, 22	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)))
24	23	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)))
25		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑎 ∈ V
26		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑏 ∈ V
27	25, 26	opth 5425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣))
28		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
29	28	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
30		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
31	30	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
32	29, 31	bi2anan9 639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))))
33	32, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑢 ∧ 𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
34	27, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
36	35	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
37	36	impl 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
38	24, 37	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
39	38	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
40		gonanegoal 35553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎⊼𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
41		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
42	40, 41	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
44	43	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
45	39, 44	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
46	45	rexlimdva 3139	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
48	14, 47	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → (((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎⊼𝑔𝑏) = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎⊼𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
49	5, 48	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
50	49	ex 412	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎⊼𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574  suc csuc 6320  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ωcom 7811  1_oc1o 8392  ⊼_𝑔cgna 35535  ∀_𝑔cgol 35536  Fmlacfmla 35538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-map 8769  df-goel 35541  df-gona 35542  df-goal 35543  df-sat 35544  df-fmla 35546

This theorem is referenced by:  gonar  35596