Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gonarlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gonarlem 33356
Description: Lemma for gonar 33357 (induction step). (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
gonarlem (𝑁 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonarlem
Dummy variables 𝑖 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 7737 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2 ovexd 7310 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → (𝑎𝑔𝑏) ∈ V)
3 isfmlasuc 33350 . . . . 5 ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
54adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
6 fmlasssuc 33351 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
71, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
87sseld 3920 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
97sseld 3920 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
108, 9anim12d 609 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ω → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
1110com12 32 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
1211imim2i 16 . . . . . 6 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
1312com23 86 . . . . 5 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (𝑁 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
1413impcom 408 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
15 gonafv 33312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
1615el2v 3440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
18 gonafv 33312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑢𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
1917, 18eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
20 1oex 8307 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ V
21 opex 5379 . . . . . . . . . . . 12 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
2220, 21opth 5391 . . . . . . . . . . 11 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
2319, 22bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)))
2423adantll 711 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)))
25 vex 3436 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 ∈ V
26 vex 3436 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 ∈ V
2725, 26opth 5391 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣))
28 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
2928equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
30 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
3130equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑣 → (𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
3229, 31bi2anan9 636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))))
3332, 11syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
3427, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ω → ((𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
3736impl 456 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
3824, 37sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
3938rexlimdva 3213 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
40 gonanegoal 33314 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
41 eqneqall 2954 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4240, 41mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4443rexlimdva 3213 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4539, 44jaod 856 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4645rexlimdva 3213 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4746adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
4814, 47jaod 856 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
495, 48sylbid 239 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
5049ex 413 1 (𝑁 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  wss 3887  cop 4567  suc csuc 6268  cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712  1oc1o 8290  𝑔cgna 33296  𝑔cgol 33297  Fmlacfmla 33299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-map 8617  df-goel 33302  df-gona 33303  df-goal 33304  df-sat 33305  df-fmla 33307
This theorem is referenced by:  gonar  33357
  Copyright terms: Public domain W3C validator