Theorem goalrlem 33358

Description: Lemma for goalr 33359 (induction step). (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goalrlem	⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalrlem

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2		df-goal 33304	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
3		opex 5379	. . . . . 6 ⊢ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V
5		isfmlasuc 33350	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
8		fmlasssuc 33351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
10	9	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
13	12	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
14	13	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
15		gonanegoal 33314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
16		eqneqall 2954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
17	15, 16	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
18	17	eqcoms 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
20	19	rexlimdva 3213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
21		df-goal 33304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑔𝑗𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩
22	2, 21	eqeq12i 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩)
23		2oex 8308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ V
24		opex 5379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
25	23, 24	opth 5391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
26	22, 25	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
27		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 ∈ V
28		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	27, 28	opth 5391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑗 ∧ 𝑎 = 𝑢))
30		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
31	30	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
32	31, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
33	32	impcomd 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
34	29, 33	simplbiim 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
35	26, 34	simplbiim 505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
38	37	rexlimdva 3213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
39	20, 38	jaod 856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
40	39	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
41	40	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
42	14, 41	jaod 856	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
43	7, 42	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
44	43	ex 413	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567  suc csuc 6268  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712  2_oc2o 8291  ⊼_𝑔cgna 33296  ∀_𝑔cgol 33297  Fmlacfmla 33299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-map 8617  df-goel 33302  df-gona 33303  df-goal 33304  df-sat 33305  df-fmla 33307

This theorem is referenced by:  goalr  33359