Theorem goalrlem 35401

Description: Lemma for goalr 35402 (induction step). (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goalrlem	⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalrlem

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7912	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2		df-goal 35347	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
3		opex 5469	. . . . . 6 ⊢ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V
5		isfmlasuc 35393	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
8		fmlasssuc 35394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
10	9	sseld 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
13	12	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
14	13	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
15		gonanegoal 35357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
16		eqneqall 2951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
17	15, 16	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
18	17	eqcoms 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
20	19	rexlimdva 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
21		df-goal 35347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑔𝑗𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩
22	2, 21	eqeq12i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩)
23		2oex 8517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ V
24		opex 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
25	23, 24	opth 5481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
26	22, 25	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
27		vex 3484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 ∈ V
28		vex 3484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	27, 28	opth 5481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑗 ∧ 𝑎 = 𝑢))
30		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
31	30	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
32	31, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
33	32	impcomd 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
34	29, 33	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
35	26, 34	simplbiim 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
38	37	rexlimdva 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
39	20, 38	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
40	39	rexlimdva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
42	14, 41	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
43	7, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
44	43	ex 412	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632  suc csuc 6386  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2_oc2o 8500  ⊼_𝑔cgna 35339  ∀_𝑔cgol 35340  Fmlacfmla 35342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-goel 35345  df-gona 35346  df-goal 35347  df-sat 35348  df-fmla 35350

This theorem is referenced by:  goalr  35402