Theorem goalrlem 36161

Description: Lemma for goalr 36162 (induction step). (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goalrlem	⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalrlem

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7901	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2		df-goal 36107	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
3		opex 5431	. . . . . 6 ⊢ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V
5		isfmlasuc 36153	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
6	1, 4, 5	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
8		fmlasssuc 36154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
9	1, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
10	9	sseld 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
11	10	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
12	11	imim2i 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
13	12	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
14	13	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
15		gonanegoal 36117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
16		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
17	15, 16	mpi 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
18	17	eqcoms 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
20	19	rexlimdva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
21		df-goal 36107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑔𝑗𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩
22	2, 21	eqeq12i 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩)
23		2oex 8488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ V
24		opex 5431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
25	23, 24	opth 5444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
26	22, 25	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
27		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 ∈ V
28		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	27, 28	opth 5444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑗 ∧ 𝑎 = 𝑢))
30		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
31	30	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
32	31, 11	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
33	32	impcomd 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
34	29, 33	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
35	26, 34	simplbiim 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
36	35	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
38	37	rexlimdva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
39	20, 38	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
40	39	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
42	14, 41	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
43	7, 42	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
44	43	ex 418	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877  2_oc2o 8470  ⊼_𝑔cgna 36099  ∀_𝑔cgol 36100  Fmlacfmla 36102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-map 8849  df-goel 36105  df-gona 36106  df-goal 36107  df-sat 36108  df-fmla 36110

This theorem is used by:  goalr  36162