Theorem goalrlem 35364

Description: Lemma for goalr 35365 (induction step). (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goalrlem	⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalrlem

Dummy variables 𝑗 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7929	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
2		df-goal 35310	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
3		opex 5484	. . . . . 6 ⊢ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V
5		isfmlasuc 35356	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
6	1, 4, 5	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢))))
8		fmlasssuc 35357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (Fmla‘suc 𝑁) ⊆ (Fmla‘suc suc 𝑁))
10	9	sseld 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
13	12	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (𝑁 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
14	13	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
15		gonanegoal 35320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
16		eqneqall 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢⊼𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
17	15, 16	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢⊼𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
18	17	eqcoms 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
20	19	rexlimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
21		df-goal 35310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑔𝑗𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩
22	2, 21	eqeq12i 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩)
23		2oex 8533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ V
24		opex 5484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
25	23, 24	opth 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑗, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
26	22, 25	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩))
27		vex 3492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 ∈ V
28		vex 3492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	27, 28	opth 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑗 ∧ 𝑎 = 𝑢))
30		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
31	30	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)))
32	31, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → (𝑁 ∈ ω → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))
33	32	impcomd 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
34	29, 33	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑗, 𝑢⟩ → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
35	26, 34	simplbiim 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
38	37	rexlimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢 → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
39	20, 38	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
40	39	rexlimdva 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
42	14, 41	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢⊼𝑔𝑣) ∨ ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑗𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
43	7, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁))) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁)))
44	43	ex 412	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑁)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654  suc csuc 6397  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  2_oc2o 8516  ⊼_𝑔cgna 35302  ∀_𝑔cgol 35303  Fmlacfmla 35305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-map 8886  df-goel 35308  df-gona 35309  df-goal 35310  df-sat 35311  df-fmla 35313

This theorem is referenced by:  goalr  35365