Theorem fodom 10515

Description: An onto function implies dominance of domain over range. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fodom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fodom	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem fodom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodom.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fodomg 10514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5148  –onto→wfo 6539   ≼ cdom 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-ac2 10455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108

This theorem is referenced by:  brdom3  10520  brdom5  10521  brdom4  10522