MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmct Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dmct 10516
Description: The domain of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmct (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Proof of Theorem dmct
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresv 6190 . 2 dom (𝐴 β†Ύ V) = dom 𝐴
2 resss 5997 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴
3 ctex 8956 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
4 ssexg 5314 . . . . 5 (((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
52, 3, 4sylancr 586 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
6 fvex 6895 . . . . . . 7 (1st β€˜π‘₯) ∈ V
7 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
86, 7fnmpti 6684 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V)
9 dffn4 6802 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
11 relres 6001 . . . . . 6 Rel (𝐴 β†Ύ V)
12 reldm 8024 . . . . . 6 (Rel (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
13 foeq3 6794 . . . . . 6 (dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
1510, 14mpbir 230 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V)
16 fodomg 10514 . . . 4 ((𝐴 β†Ύ V) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V)))
175, 15, 16mpisyl 21 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V))
18 ssdomg 8993 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴))
193, 2, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴)
20 domtr 9000 . . . 4 (((𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2119, 20mpancom 685 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
22 domtr 9000 . . 3 ((dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V) ∧ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2317, 21, 22syl2anc 583 . 2 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
241, 23eqbrtrrid 5175 1 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669  Rel wrel 5672   Fn wfn 6529  β€“ontoβ†’wfo 6532  β€˜cfv 6534  Ο‰com 7849  1st c1st 7967   β‰Ό cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-ac2 10455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108
This theorem is referenced by:  rnct  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator