MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmct Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dmct 10541
Description: The domain of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmct (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Proof of Theorem dmct
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresv 6198 . 2 dom (𝐴 β†Ύ V) = dom 𝐴
2 resss 6004 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴
3 ctex 8977 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
4 ssexg 5317 . . . . 5 (((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
52, 3, 4sylancr 586 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
6 fvex 6904 . . . . . . 7 (1st β€˜π‘₯) ∈ V
7 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
86, 7fnmpti 6692 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V)
9 dffn4 6811 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
11 relres 6008 . . . . . 6 Rel (𝐴 β†Ύ V)
12 reldm 8042 . . . . . 6 (Rel (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
13 foeq3 6803 . . . . . 6 (dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
1510, 14mpbir 230 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V)
16 fodomg 10539 . . . 4 ((𝐴 β†Ύ V) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V)))
175, 15, 16mpisyl 21 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V))
18 ssdomg 9014 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴))
193, 2, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴)
20 domtr 9021 . . . 4 (((𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2119, 20mpancom 687 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
22 domtr 9021 . . 3 ((dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V) ∧ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2317, 21, 22syl2anc 583 . 2 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
241, 23eqbrtrrid 5178 1 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  Rel wrel 5677   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7864  1st c1st 7985   β‰Ό cdom 8955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133
This theorem is referenced by:  rnct  10542
  Copyright terms: Public domain W3C validator