MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmct Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dmct 10515
Description: The domain of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmct (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Proof of Theorem dmct
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresv 6196 . 2 dom (𝐴 β†Ύ V) = dom 𝐴
2 resss 6004 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴
3 ctex 8955 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
4 ssexg 5322 . . . . 5 (((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
52, 3, 4sylancr 587 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
6 fvex 6901 . . . . . . 7 (1st β€˜π‘₯) ∈ V
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
86, 7fnmpti 6690 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V)
9 dffn4 6808 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
11 relres 6008 . . . . . 6 Rel (𝐴 β†Ύ V)
12 reldm 8026 . . . . . 6 (Rel (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
13 foeq3 6800 . . . . . 6 (dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
1510, 14mpbir 230 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V)
16 fodomg 10513 . . . 4 ((𝐴 β†Ύ V) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V)))
175, 15, 16mpisyl 21 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V))
18 ssdomg 8992 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴))
193, 2, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴)
20 domtr 8999 . . . 4 (((𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2119, 20mpancom 686 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
22 domtr 8999 . . 3 ((dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V) ∧ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2317, 21, 22syl2anc 584 . 2 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
241, 23eqbrtrrid 5183 1 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  Rel wrel 5680   Fn wfn 6535  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851  1st c1st 7969   β‰Ό cdom 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107
This theorem is referenced by:  rnct  10516
  Copyright terms: Public domain W3C validator