MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmct 10461
Description: The domain of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmct (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)

Proof of Theorem dmct
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresv 6153 . 2 dom (𝐴 β†Ύ V) = dom 𝐴
2 resss 5963 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴
3 ctex 8904 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
4 ssexg 5281 . . . . 5 (((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) ∈ V)
6 fvex 6856 . . . . . . 7 (1st β€˜π‘₯) ∈ V
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
86, 7fnmpti 6645 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V)
9 dffn4 6763 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) Fn (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))
11 relres 5967 . . . . . 6 Rel (𝐴 β†Ύ V)
12 reldm 7977 . . . . . 6 (Rel (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
13 foeq3 6755 . . . . . 6 (dom (𝐴 β†Ύ V) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯))))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)))
1510, 14mpbir 230 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V)
16 fodomg 10459 . . . 4 ((𝐴 β†Ύ V) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 β†Ύ V) ↦ (1st β€˜π‘₯)):(𝐴 β†Ύ V)–ontoβ†’dom (𝐴 β†Ύ V) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V)))
175, 15, 16mpisyl 21 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V))
18 ssdomg 8941 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β†Ύ V) βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴))
193, 2, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴)
20 domtr 8948 . . . 4 (((𝐴 β†Ύ V) β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2119, 20mpancom 687 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
22 domtr 8948 . . 3 ((dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό (𝐴 β†Ύ V) ∧ (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰) β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
2317, 21, 22syl2anc 585 . 2 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom (𝐴 β†Ύ V) β‰Ό Ο‰)
241, 23eqbrtrrid 5142 1 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ dom 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  Rel wrel 5639   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  1st c1st 7920   β‰Ό cdom 8882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10400
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-card 9876  df-acn 9879  df-ac 10053
This theorem is referenced by:  rnct  10462
  Copyright terms: Public domain W3C validator