Theorem cmdpropd 50948

Description: If the categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same colimits. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
lmdpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
lmdpropd.3	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
lmdpropd.4	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
lmdpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmdpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmdpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmdpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cmdpropd	⊢ (𝜑 → (𝐴 Colimit 𝐶) = (𝐵 Colimit 𝐷))

Proof of Theorem cmdpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
2		lmdpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
3		lmdpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
4		lmdpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
5		lmdpropd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6		lmdpropd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
7		lmdpropd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		lmdpropd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	funcpropd 18084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐴) = (𝐷 Func 𝐵))
10	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
11	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
12	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
13	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴))
15	14	func1st2nd 50297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐴)(2nd ‘𝑓))
16	15	funcrcl2 50300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝐶 ∈ Cat)
17	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐶 Func 𝐴) = (𝐷 Func 𝐵))
18	14, 17	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐵))
19	18	func1st2nd 50297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (1st ‘𝑓)(𝐷 Func 𝐵)(2nd ‘𝑓))
20	19	funcrcl2 50300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝐷 ∈ Cat)
21	15	funcrcl3 50301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝐴 ∈ Cat)
22	19	funcrcl3 50301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝐵 ∈ Cat)
23	12, 13, 10, 11, 16, 20, 21, 22	fucpropd 18162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐶 FuncCat 𝐴) = (𝐷 FuncCat 𝐵))
24	23	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (Homf ‘(𝐶 FuncCat 𝐴)) = (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐵)))
25	23	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (compf‘(𝐶 FuncCat 𝐴)) = (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐵)))
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐴) = (𝐶 FuncCat 𝐴)
27	26, 16, 21	fuccat 18155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐶 FuncCat 𝐴) ∈ Cat)
28	23, 27	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐷 FuncCat 𝐵) ∈ Cat)
29	10, 11, 24, 25, 21, 22, 27, 28	uppropd 50404	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐴 UP (𝐶 FuncCat 𝐴)) = (𝐵 UP (𝐷 FuncCat 𝐵)))
30	10, 11, 12, 13, 21, 22, 16, 20	diagpropd 50521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐵Δfunc𝐷))
31		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → 𝑓 = 𝑓)
32	29, 30, 31	oveq123d 7443	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴)) → ((𝐴Δfunc𝐶)(𝐴 UP (𝐶 FuncCat 𝐴))𝑓) = ((𝐵Δfunc𝐷)(𝐵 UP (𝐷 FuncCat 𝐵))𝑓))
33	9, 32	mpteq12dva 5190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴) ↦ ((𝐴Δfunc𝐶)(𝐴 UP (𝐶 FuncCat 𝐴))𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐵) ↦ ((𝐵Δfunc𝐷)(𝐵 UP (𝐷 FuncCat 𝐵))𝑓)))
34		cmdfval 50940	. 2 ⊢ (𝐴 Colimit 𝐶) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐴) ↦ ((𝐴Δfunc𝐶)(𝐴 UP (𝐶 FuncCat 𝐴))𝑓))
35		cmdfval 50940	. 2 ⊢ (𝐵 Colimit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐵) ↦ ((𝐵Δfunc𝐷)(𝐵 UP (𝐷 FuncCat 𝐵))𝑓))
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Colimit 𝐶) = (𝐵 Colimit 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  Catccat 17845  Hom_f chomf 17847  comp_fccomf 17848   Func cfunc 18036   FuncCat cfuc 18127  Δ_funccdiag 18393   UP cup 50396   Colimit ccmd 50934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-homf 17851  df-comf 17852  df-func 18040  df-nat 18128  df-fuc 18129  df-xpc 18353  df-1stf 18354  df-curf 18395  df-diag 18397  df-up 50397  df-cmd 50936

This theorem is used by: (None)