Theorem eufunclem 50244

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is at most a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunclem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem eufunclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐷Δfunc𝐶) = (𝐷Δfunc𝐶)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2603	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		relfunc 17918	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
6		1st2ndbr 8038	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
7	5, 6	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
8	7	funcrcl3 49803	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1958	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	7	funcrcl2 49802	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1958	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eufunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		eufunc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
16		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
17	1, 10, 13, 14, 15, 16	diag1f1 50030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷))
18		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ∈ V
19	18	f1dom 8969	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷) → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
21		euen1b 9024	. . 3 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
22	2, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o)
23		domentr 9009	. 2 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o) → 𝐵 ≼ 1o)
24	20, 22, 23	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  ∃!weu 2594   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  Rel wrel 5666  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  1_oc1o 8445   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940  Basecbs 17268  Catccat 17719   Func cfunc 17910  Δ_funccdiag 18267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-func 17914  df-nat 18002  df-fuc 18003  df-xpc 18227  df-1stf 18228  df-curf 18269  df-diag 18271

This theorem is referenced by:  eufunc  50245