Theorem eufunclem 50327

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is at most a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunclem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem eufunclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐷Δfunc𝐶) = (𝐷Δfunc𝐶)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2604	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		relfunc 17925	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
6		1st2ndbr 8037	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
7	5, 6	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
8	7	funcrcl3 49886	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1959	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	7	funcrcl2 49885	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1959	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eufunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		eufunc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
16		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
17	1, 10, 13, 14, 15, 16	diag1f1 50113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷))
18		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ∈ V
19	18	f1dom 8968	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷) → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
21		euen1b 9023	. . 3 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
22	2, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o)
23		domentr 9008	. 2 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o) → 𝐵 ≼ 1o)
24	20, 22, 23	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  ∃!weu 2595   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  Rel wrel 5665  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  1_oc1o 8444   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939  Basecbs 17275  Catccat 17726   Func cfunc 17917  Δ_funccdiag 18274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-hom 17340  df-cco 17341  df-cat 17730  df-cid 17731  df-func 17921  df-nat 18009  df-fuc 18010  df-xpc 18234  df-1stf 18235  df-curf 18276  df-diag 18278

This theorem is used by:  eufunc  50328