Theorem eufunclem 49373

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is at most a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunclem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem eufunclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐷Δfunc𝐶) = (𝐷Δfunc𝐶)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2577	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		relfunc 17880	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
6		1st2ndbr 8046	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
7	5, 6	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
8	7	funcrcl3 49012	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	7	funcrcl2 49011	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
13	4, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eufunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		eufunc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
16		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
17	1, 10, 13, 14, 15, 16	diag1f1 49185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷))
18		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ∈ V
19	18	f1dom 8993	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷) → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
21		euen1b 9047	. . 3 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
22	2, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o)
23		domentr 9032	. 2 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o) → 𝐵 ≼ 1o)
24	20, 22, 23	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2568   ≠ wne 2933  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  Rel wrel 5664  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992  1_oc1o 8478   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962  Basecbs 17233  Catccat 17681   Func cfunc 17872  Δ_funccdiag 18229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-func 17876  df-nat 17964  df-fuc 17965  df-xpc 18189  df-1stf 18190  df-curf 18231  df-diag 18233

This theorem is referenced by:  eufunc  49374