Theorem eufunclem 50551

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is at most a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunclem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem eufunclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐷Δfunc𝐶) = (𝐷Δfunc𝐶)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2602	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		relfunc 17998	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
6		1st2ndbr 8036	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
7	5, 6	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
8	7	funcrcl3 50110	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1963	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	7	funcrcl2 50109	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1963	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eufunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		eufunc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
16		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
17	1, 10, 13, 14, 15, 16	diag1f1 50337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷))
18		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ∈ V
19	18	f1dom 8978	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵–1-1→(𝐶 Func 𝐷) → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
21		euen1b 9033	. . 3 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
22	2, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o)
23		domentr 9018	. 2 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o) → 𝐵 ≼ 1o)
24	20, 22, 23	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  Rel wrel 5652  –1-1→wf1 6524  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  1_oc1o 8447   ≈ cen 8948   ≼ cdom 8949  Basecbs 17348  Catccat 17799   Func cfunc 17990  Δ_funccdiag 18347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-hom 17413  df-cco 17414  df-cat 17803  df-cid 17804  df-func 17994  df-nat 18082  df-fuc 18083  df-xpc 18307  df-1stf 18308  df-curf 18349  df-diag 18351

This theorem is used by:  eufunc  50552