Theorem eufunclem 50859

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is at most a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunclem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem eufunclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐷Δfunc𝐶) = (𝐷Δfunc𝐶)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2605	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		relfunc 18063	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
6		1st2ndbr 8074	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
7	5, 6	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (1st ‘𝑓)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝑓))
8	7	funcrcl3 50397	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1965	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	7	funcrcl2 50396	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1965	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝐶 ∈ Cat)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eufunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		eufunc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
16		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
17	1, 10, 13, 14, 15, 16	diag1f1 50632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵⟶1-1(𝐶 Func 𝐷))
18		ovex 7473	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ∈ V
19	18	f1dom 9025	. . 3 ⊢ ((1st ‘(𝐷Δfunc𝐶)):𝐵⟶1-1(𝐶 Func 𝐷) → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷))
21		euen1b 9080	. . 3 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
22	2, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o)
23		domentr 9065	. 2 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐶 Func 𝐷) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ≈ 1o) → 𝐵 ≼ 1o)
24	20, 22, 23	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  Rel wrel 5660  ⟶1-1wf1 6552  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  1_oc1o 8494   ≈ cen 8995   ≼ cdom 8996  Basecbs 17413  Catccat 17864   Func cfunc 18055  Δ_funccdiag 18412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-hom 17478  df-cco 17479  df-cat 17868  df-cid 17869  df-func 18059  df-nat 18147  df-fuc 18148  df-xpc 18372  df-1stf 18373  df-curf 18414  df-diag 18416

This theorem is used by:  eufunc  50860