Theorem precofcl 49402

Description: The pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofval.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precofval.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
precofval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precofval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
precofcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
precofcl	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Proof of Theorem precofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofval.o	. 2 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
2		precofval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
3	2	fucbas 17865	. 2 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
4		precofval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5	4	func1st2nd 49108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
6	5	funcrcl2 49111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7	5	funcrcl3 49112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
8	2, 6, 7	fuccat 17875	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
9		precofval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
10		precofval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
11	9, 7, 10	fuccat 17875	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
12	9, 2	oveq12i 7353	. . 3 ⊢ (𝑅 ×c 𝑄) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
13		precofcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
14	12, 13, 6, 7, 10	fucofunca 49392	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ ((𝑅 ×c 𝑄) Func 𝑆))
15		precofval.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
16	1, 3, 8, 11, 14, 4, 15	tposcurf1cl 49328	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  Catccat 17565   Func cfunc 17756   ∘_func ccofu 17758   FuncCat cfuc 17847   ×_c cxpc 18069   curry_F ccurf 18111   swap_F cswapf 49291   ∘_F cfuco 49348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-func 17760  df-cofu 17762  df-nat 17848  df-fuc 17849  df-xpc 18073  df-curf 18115  df-swapf 49292  df-fuco 49349

This theorem is referenced by:  precoffunc  49404  prcoffunc  49417  prcoffunca  49418