Theorem precofcl 50181

Description: The pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precofval.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precofval.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
precofval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precofval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
precofcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
precofcl	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Proof of Theorem precofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precofval.o	. 2 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
2		precofval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
3	2	fucbas 18038	. 2 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
4		precofval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5	4	func1st2nd 49887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
6	5	funcrcl2 49890	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7	5	funcrcl3 49891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
8	2, 6, 7	fuccat 18048	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
9		precofval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
10		precofval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
11	9, 7, 10	fuccat 18048	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
12	9, 2	oveq12i 7428	. . 3 ⊢ (𝑅 ×c 𝑄) = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
13		precofcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
14	12, 13, 6, 7, 10	fucofunca 50171	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ ((𝑅 ×c 𝑄) Func 𝑆))
15		precofval.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
16	1, 3, 8, 11, 14, 4, 15	tposcurf1cl 50107	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  Catccat 17738   Func cfunc 17929   ∘_func ccofu 17931   FuncCat cfuc 18020   ×_c cxpc 18242   curry_F ccurf 18284   swap_F cswapf 50070   ∘_F cfuco 50127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-hom 17352  df-cco 17353  df-cat 17742  df-cid 17743  df-func 17933  df-cofu 17935  df-nat 18021  df-fuc 18022  df-xpc 18246  df-curf 18288  df-swapf 50071  df-fuco 50128

This theorem is used by:  precoffunc  50183  prcoffunc  50196  prcoffunca  50197