Theorem isinito4 50481

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Assertion

Ref	Expression
isinito4	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) = ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)
3	1, 2	isinito3 50434	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅))
4	1	setc1obas 50426	. . . 4 ⊢ 1o = (Base‘(SetCat‘1o))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
6		0lt1o 8495	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9		isinito4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
10	9	func1st2nd 50010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 50013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	1, 2, 11	funcsetc1ocl 50430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) ∈ (𝐶 Func (SetCat‘1o)))
13		setc1oterm 50425	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
15		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
16	4, 5, 7, 8, 12, 9, 14, 15	uobeqterm 50480	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) = dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋))
17	16	eleq2d 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
18	3, 17	bitrid 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  1_oc1o 8452  Basecbs 17307   Func cfunc 17949  InitOcinito 18076  SetCatcsetc 18170  Δ_funccdiag 18306   UP cup 50107  TermCatctermc 50406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-homf 17764  df-comf 17765  df-oppc 17806  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844  df-cic 17891  df-func 17953  df-idfu 17954  df-cofu 17955  df-full 18001  df-fth 18002  df-nat 18041  df-fuc 18042  df-inito 18079  df-termo 18080  df-setc 18171  df-catc 18194  df-xpc 18266  df-1stf 18267  df-curf 18308  df-diag 18310  df-up 50108  df-thinc 50352  df-termc 50407

This theorem is used by:  isinito4a  50482  initocmd  50603