Theorem isinito4 49578

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Assertion

Ref	Expression
isinito4	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) = ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)
3	1, 2	isinito3 49531	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅))
4	1	setc1obas 49523	. . . 4 ⊢ 1o = (Base‘(SetCat‘1o))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
6		0lt1o 8419	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9		isinito4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
10	9	func1st2nd 49107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 49110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	1, 2, 11	funcsetc1ocl 49527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) ∈ (𝐶 Func (SetCat‘1o)))
13		setc1oterm 49522	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
15		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
16	4, 5, 7, 8, 12, 9, 14, 15	uobeqterm 49577	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) = dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋))
17	16	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
18	3, 17	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ∅c0 4283  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  1_oc1o 8378  Basecbs 17117   Func cfunc 17758  InitOcinito 17885  SetCatcsetc 17979  Δ_funccdiag 18115   UP cup 49204  TermCatctermc 49503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-hom 17182  df-cco 17183  df-cat 17571  df-cid 17572  df-homf 17573  df-comf 17574  df-oppc 17615  df-sect 17651  df-inv 17652  df-iso 17653  df-cic 17700  df-func 17762  df-idfu 17763  df-cofu 17764  df-full 17810  df-fth 17811  df-nat 17850  df-fuc 17851  df-inito 17888  df-termo 17889  df-setc 17980  df-catc 18003  df-xpc 18075  df-1stf 18076  df-curf 18117  df-diag 18119  df-up 49205  df-thinc 49449  df-termc 49504

This theorem is referenced by:  isinito4a  49579  initocmd  49700