Theorem isinito4 49533

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Assertion

Ref	Expression
isinito4	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) = ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)
3	1, 2	isinito3 49486	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅))
4	1	setc1obas 49478	. . . 4 ⊢ 1o = (Base‘(SetCat‘1o))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
6		0lt1o 8429	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9		isinito4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
10	9	func1st2nd 49062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 49065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	1, 2, 11	funcsetc1ocl 49482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) ∈ (𝐶 Func (SetCat‘1o)))
13		setc1oterm 49477	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
15		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
16	4, 5, 7, 8, 12, 9, 14, 15	uobeqterm 49532	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) = dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋))
17	16	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
18	3, 17	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  1_oc1o 8388  Basecbs 17138   Func cfunc 17779  InitOcinito 17906  SetCatcsetc 18000  Δ_funccdiag 18136   UP cup 49159  TermCatctermc 49458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17592  df-cid 17593  df-homf 17594  df-comf 17595  df-oppc 17636  df-sect 17672  df-inv 17673  df-iso 17674  df-cic 17721  df-func 17783  df-idfu 17784  df-cofu 17785  df-full 17831  df-fth 17832  df-nat 17871  df-fuc 17872  df-inito 17909  df-termo 17910  df-setc 18001  df-catc 18024  df-xpc 18096  df-1stf 18097  df-curf 18138  df-diag 18140  df-up 49160  df-thinc 49404  df-termc 49459

This theorem is referenced by:  isinito4a  49534  initocmd  49655