Theorem isinito4 50697

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Assertion

Ref	Expression
isinito4	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) = ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)
3	1, 2	isinito3 50650	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅))
4	1	setc1obas 50642	. . . 4 ⊢ 1o = (Base‘(SetCat‘1o))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
6		0lt1o 8512	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9		isinito4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
10	9	func1st2nd 50226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 50229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	1, 2, 11	funcsetc1ocl 50646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) ∈ (𝐶 Func (SetCat‘1o)))
13		setc1oterm 50641	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
15		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
16	4, 5, 7, 8, 12, 9, 14, 15	uobeqterm 50696	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) = dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋))
17	16	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
18	3, 17	bitrid 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  1_oc1o 8469  Basecbs 17387   Func cfunc 18029  InitOcinito 18156  SetCatcsetc 18250  Δ_funccdiag 18386   UP cup 50323  TermCatctermc 50622

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-homf 17844  df-comf 17845  df-oppc 17886  df-sect 17922  df-inv 17923  df-iso 17924  df-cic 17971  df-func 18033  df-idfu 18034  df-cofu 18035  df-full 18081  df-fth 18082  df-nat 18121  df-fuc 18122  df-inito 18159  df-termo 18160  df-setc 18251  df-catc 18274  df-xpc 18346  df-1stf 18347  df-curf 18388  df-diag 18390  df-up 50324  df-thinc 50568  df-termc 50623

This theorem is used by:  isinito4a  50698  initocmd  50819