Theorem isinito4 50034

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Assertion

Ref	Expression
isinito4	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) = ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)
3	1, 2	isinito3 49987	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅))
4	1	setc1obas 49979	. . . 4 ⊢ 1o = (Base‘(SetCat‘1o))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
6		0lt1o 8432	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9		isinito4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
10	9	func1st2nd 49563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 49566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12	1, 2, 11	funcsetc1ocl 49983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅) ∈ (𝐶 Func (SetCat‘1o)))
13		setc1oterm 49978	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
15		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
16	4, 5, 7, 8, 12, 9, 14, 15	uobeqterm 50033	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) = dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋))
17	16	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ dom (((1st ‘((SetCat‘1o)Δfunc𝐶))‘∅)(𝐶 UP (SetCat‘1o))∅) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
18	3, 17	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  1_oc1o 8391  Basecbs 17170   Func cfunc 17812  InitOcinito 17939  SetCatcsetc 18033  Δ_funccdiag 18169   UP cup 49660  TermCatctermc 49959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-sect 17705  df-inv 17706  df-iso 17707  df-cic 17754  df-func 17816  df-idfu 17817  df-cofu 17818  df-full 17864  df-fth 17865  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-inito 17942  df-termo 17943  df-setc 18034  df-catc 18057  df-xpc 18129  df-1stf 18130  df-curf 18171  df-diag 18173  df-up 49661  df-thinc 49905  df-termc 49960

This theorem is referenced by:  isinito4a  50035  initocmd  50156