Theorem prcoftposcurfuco 49873

Description: The pre-composition functor is the transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoftposcurfuco.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
prcoftposcurfuco.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
prcoftposcurfuco.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
prcoftposcurfuco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prcoftposcurfuco	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝑀)

Proof of Theorem prcoftposcurfuco

Dummy variables 𝑎 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (𝐷 Func 𝐸)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
3		prcoftposcurfuco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	3	funcrcl3 49570	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		prcoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
6		relfunc 17823	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
7	1, 2, 4, 5, 6, 3	prcofval 49868	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)))⟩)
8		prcoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
9		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
10		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
11		prcoftposcurfuco.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
12		prcoftposcurfuco.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
13		prcoftposcurfuco.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
14	8, 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13	precofval3 49861	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)))⟩ = 𝑀)
15	7, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  1^st c1st 7934  Catccat 17624   Func cfunc 17815   ∘_func ccofu 17817   Nat cnat 17905   FuncCat cfuc 17906   curry_F ccurf 18170   swap_F cswapf 49749   ∘_F cfuco 49806   −∘_F cprcof 49863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-hom 17238  df-cco 17239  df-cat 17628  df-cid 17629  df-func 17819  df-cofu 17821  df-nat 17907  df-fuc 17908  df-xpc 18132  df-curf 18174  df-swapf 49750  df-fuco 49807  df-prcof 49864

This theorem is referenced by:  prcoftposcurfucoa  49874  prcoffunc  49875