Theorem prcoftposcurfuco 50660

Description: The pre-composition functor is the transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoftposcurfuco.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
prcoftposcurfuco.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
prcoftposcurfuco.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
prcoftposcurfuco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prcoftposcurfuco	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝑀)

Proof of Theorem prcoftposcurfuco

Dummy variables 𝑎 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐸) = (𝐷 Func 𝐸)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
3		prcoftposcurfuco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
4	3	funcrcl3 50336	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		prcoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
6		relfunc 18052	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
7	1, 2, 4, 5, 6, 3	prcofval 50655	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = ⟨(𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)))⟩)
8		prcoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
9		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
10		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
11		prcoftposcurfuco.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
12		prcoftposcurfuco.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
13		prcoftposcurfuco.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
14	8, 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13	precofval3 50648	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑘 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑙 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑘(𝐷 Nat 𝐸)𝑙) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)))⟩ = 𝑀)
15	7, 14	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  1^st c1st 8009  Catccat 17853   Func cfunc 18044   ∘_func ccofu 18046   Nat cnat 18134   FuncCat cfuc 18135   curry_F ccurf 18399   swap_F cswapf 50523   ∘_F cfuco 50580   −∘_F cprcof 50650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-hom 17467  df-cco 17468  df-cat 17857  df-cid 17858  df-func 18048  df-cofu 18050  df-nat 18136  df-fuc 18137  df-xpc 18361  df-curf 18403  df-swapf 50524  df-fuco 50581  df-prcof 50651

This theorem is used by:  prcoftposcurfucoa  50661  prcoffunc  50662