Theorem sylow1lem1 19725

Description: Lemma for sylow1 19730. The p-adic valuation of the size of 𝑆 is equal to the number of excess powers of 𝑃 in (♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem1	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑋,𝑠   + ,𝑠   𝐺,𝑠   𝑃,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem1

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sylow1.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5		sylow1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nnexpcld 14309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
8		hashbc 14518	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}))
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}))
10		sylow1lem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
11	10	fveq2i 6881	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)})
12	9, 11	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) = (♯‘𝑆))
13		sylow1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
14		sylow1.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15		sylow1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
16	15	grpbn0 19090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
18		hasheq0 14427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = ∅))
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = ∅))
20	19	necon3bbid 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	17, 20	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) = 0)
22		hashcl 14420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
23	1, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑋) = 0))
25	23, 24	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑋) = 0))
26	25	ord 878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑋) ∈ ℕ → (♯‘𝑋) = 0))
27	21, 26	mt3d 149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
28		dvdsle 16400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
29	7, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
30	13, 29	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋))
31	6	nnnn0d 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
32		nn0uz 12925	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
33	31, 32	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ (ℤ≥‘0))
34	23	nn0zd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
35		elfz5 13570	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
37	30, 36	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)))
38		bccl2 14387	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ)
40	12, 39	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
41		nnuz 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
42	6, 41	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
43		elfz5 13570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
44	42, 34, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
45	30, 44	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
46		1zzd 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
47		fzsubel 13615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ ((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1))))
48	46, 34, 7, 46, 47	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1))))
49	45, 48	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1)))
50		1m1e0 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
51	50	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1)) = (0...((♯‘𝑋) − 1))
52	49, 51	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)))
53		bcp1nk 14381	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)) → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃↑𝑁) − 1) + 1)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1))))
54	52, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃↑𝑁) − 1) + 1)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1))))
55	23	nn0cnd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
57		npcan 11490	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
58	55, 56, 57	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
59	6	nncnd 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℂ)
60		npcan 11490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1) = (𝑃↑𝑁))
61	59, 56, 60	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1) = (𝑃↑𝑁))
62	58, 61	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃↑𝑁) − 1) + 1)) = ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)))
63	58, 61	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))
64	63	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃↑𝑁) − 1) + 1))) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁))))
65	54, 62, 64	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁))))
66	65	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁))) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))))
67	12	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋)C(𝑃↑𝑁))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)))
68		bccl2 14387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)) → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
69	52, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
70	69	nnzd 12641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
71	69	nnne0d 12310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ≠ 0)
72	6	nnne0d 12310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≠ 0)
73		dvdsval2 16345	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑁) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ))
74	7, 72, 34, 73	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ))
75	13, 74	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ)
76	27	nnne0d 12310	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
77	55, 59, 76, 72	divne0d 12031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ≠ 0)
78		pcmul 16943	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ (((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))))
79	2, 70, 71, 75, 77, 78	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))))
80		1cnd 11226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
81	55, 59, 80	npncand 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1)) = ((♯‘𝑋) − 1))
82	81	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1)) = (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)))
83	82	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = (𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1))))
84	6	nnred 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
85	84	ltm1d 12171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁))
86		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃↑𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
87	6, 86	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
88		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) ↔ 0 < (𝑃↑𝑁)))
89		bcxmaslem1 15923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0))
90	89	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)))
91	90	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = 0))
92	88, 91	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (0 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = 0)))
93	92	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (0 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = 0))))
94		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) ↔ 𝑛 < (𝑃↑𝑁)))
95		bcxmaslem1 15923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛))
96	95	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)))
97	96	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0))
98	94, 97	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (𝑛 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)))
99	98	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (𝑛 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0))))
100		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁)))
101		bcxmaslem1 15923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
102	101	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
103	102	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))
104	100, 103	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ ((𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0)))
105	104	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))))
106		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁)))
107		bcxmaslem1 15923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1)))
108	107	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))))
109	108	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0))
110	106, 109	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → ((𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0)))
111	110	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑃↑𝑁) − 1) → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0))))
112		znn0sub 12665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0))
113	7, 34, 112	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0))
114	30, 113	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0)
115		0nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
116		nn0addcl 12563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0) ∈ ℕ0)
117	114, 115, 116	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0) ∈ ℕ0)
118		bcn0 14374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0) = 1)
119	117, 118	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0) = 1)
120	119	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = (𝑃 pCnt 1))
121		pc1 16947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
122	2, 121	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 1) = 0)
123	120, 122	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = 0)
124	123	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 0)C0)) = 0))
125		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
126	125	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ∈ ℝ)
127		nn0p1nn 12567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
128	127	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129	128	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
130	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
131	130	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
132	126	ltp1d 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
133		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))
134	126, 129, 131, 132, 133	lttrd 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 < (𝑃↑𝑁))
135	134	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁) → 𝑛 < (𝑃↑𝑁)))
136	135	imim1d 83	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)))
137		oveq1 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
138	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0)
139	138	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℂ)
140		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ∈ ℂ)
142		1cnd 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
143	139, 141, 142	addassd 11255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) = (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1)))
144	143	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
145		nn0addge2 12575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0) → 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛))
146	126, 138, 145	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛))
147		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
148	147, 32	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
149	138, 147	nn0addcld 12593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) ∈ ℕ0)
150	149	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) ∈ ℤ)
151		elfz5 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)) ↔ 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)))
152	148, 150, 151	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)) ↔ 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)))
153	146, 152	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)))
154		bcp1nk 14381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
155	153, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
156	144, 155	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
157	156	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
158	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑃 ∈ ℙ)
159		bccl2 14387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ)
160	153, 159	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ)
161		nnq 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ)
162	160, 161	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ)
163	160	nnne0d 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ≠ 0)
164	150	peano2zd 12728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
165		znq 13001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ)
166	164, 128, 165	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ)
167		nn0p1nn 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
168	149, 167	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
169		nnrp 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
170		nnrp 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
171		rpdivcl 13069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
172	169, 170, 171	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
173	168, 128, 172	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
174	173	rpne0d 13091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ≠ 0)
175		pcqmul 16945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ ∧ ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ≠ 0) ∧ ((((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
176	158, 162, 163, 166, 174, 175	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
177	157, 176	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
178	168	nnne0d 12310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ≠ 0)
179		pcdiv 16944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) ≠ 0) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))))
180	158, 164, 178, 128, 179	syl121anc 1402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))))
181	128	nncnd 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
182	139, 181, 143	comraddd 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) = ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
183	182	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))))
184		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0)
185	184	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0) → ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))) = ((𝑛 + 1) + 0))
186	181	addridd 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑛 + 1) + 0) = (𝑛 + 1))
187	186	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0) → ((𝑛 + 1) + 0) = (𝑛 + 1))
188	185, 187	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0) → (𝑛 + 1) = ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
189	188	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))))
190	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
191		nnq 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
192	128, 191	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
193	192	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
194	138	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ)
195		zq 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℚ)
196	194, 195	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℚ)
197	196	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℚ)
198	158, 128	pccld 16942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
199	198	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
200	199	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
201	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
202	201	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
203	202	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
204		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0)
205	204	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ¬ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0)
206	114	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0)
207		elnn0 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ ∨ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0))
208	206, 207	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ ∨ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0))
209	208	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (¬ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) = 0))
210	205, 209	mt3d 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℕ)
211	190, 210	pccld 16942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))) ∈ ℕ0)
212	211	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))) ∈ ℝ)
213	128	nnzd 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
214		pcdvdsb 16961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (𝑛 + 1)))
215	158, 213, 201, 214	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (𝑛 + 1)))
216	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
217		dvdsle 16400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (𝑛 + 1) → (𝑃↑𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
218	216, 128, 217	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (𝑛 + 1) → (𝑃↑𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
219	215, 218	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) → (𝑃↑𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
220	202, 199	lenltd 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁))
221	131, 129	lenltd 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑃↑𝑁) ≤ (𝑛 + 1) ↔ ¬ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁)))
222	219, 220, 221	3imtr3d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (¬ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁 → ¬ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁)))
223	133, 222	mt4d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁)
224	223	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁)
225		dvdssubr 16395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
226	7, 34, 225	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
227	13, 226	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))
228	227	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))
229	206	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ)
230	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
231		pcdvdsb 16961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
232	190, 229, 230, 231	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
233	228, 232	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
234	200, 203, 212, 224, 233	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁))))
235	190, 193, 197, 234	pcadd2 16982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))))
236	189, 235	pm2.61dane 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)))))
237	183, 236	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) = (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)))
238	198	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
239	237, 238	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
240	239, 237	subeq0bd 11664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))) = 0)
241	180, 240	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = 0)
242	241	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + 0))
243		00id 11409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
244	242, 243	eqtr2di 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → 0 = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
245	177, 244	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0 ↔ ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
246	137, 245	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))
247	136, 246	animpimp2impd 860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑛 < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))))
248	93, 99, 105, 111, 124, 247	nn0ind 12716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0)))
249	87, 248	mpcom 39	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑁) − 1) < (𝑃↑𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0))
250	85, 249	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃↑𝑁)) + ((𝑃↑𝑁) − 1))C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0)
251	83, 250	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1))) = 0)
252		pcdiv 16944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ≠ 0) ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑁))))
253	2, 34, 76, 6, 252	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑁))))
254	5	nn0zd 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
255		pcid 16965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑁)) = 𝑁)
256	2, 254, 255	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑁)) = 𝑁)
257	256	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
258	253, 257	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
259	251, 258	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))) = (0 + ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
260	2, 27	pccld 16942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
261	260	nn0zd 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
262	261, 254	zsubcld 12730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
263	262	zcnd 12726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℂ)
264	263	addlidd 11435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
265	79, 259, 264	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃↑𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃↑𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
266	66, 67, 265	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
267	40, 266	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℚcq 12997  ℝ⁺crp 13042  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Ccbc 14366  ♯chash 14394   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761   pCnt cpc 16928  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Grpcgrp 19057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-pc 16929  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060

This theorem is used by:  sylow1lem3  19727