Theorem pgpfi 19635

Description: The converse to pgpfi1 19625. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	ispgp 19622	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)))
4		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5	1	grpbn0 18998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7		hashnncl 14372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	6, 8	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
10	4, 9	pccld 16876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	leidd 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
13	10	nn0zd 12586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14		pcid 16899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
15	4, 13, 14	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
16	12, 15	breqtrrd 5125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
17	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
19	18	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
20	18	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
21	17, 19, 20	3brtr4d 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22		simp-4l 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
24	23	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
27	1, 2	odcau 19634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
28	22, 24, 25, 26, 27	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
29	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30		prmz 16699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31		iddvds 16293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∥ 𝑝)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝑝)
33		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
34	32, 33	breqtrrd 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))
36		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
37	36	rexbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
38	37	rspccva 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
39	35, 38	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
40	39	ad2ant2r 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
41	4	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
44	33, 43	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45		pcprmpw 16909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
46	41, 44, 45	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
47	40, 46	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
48	34, 47	breqtrd 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
49	41, 44	pccld 16876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50		prmdvdsexpr 16742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
51	29, 41, 49, 50	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
53	28, 52	rexlimddv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
54	53	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
55	54	necon3ad 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
56	55	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	9	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59		pceq0 16897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
60	57, 58, 59	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
61	56, 60	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62		prmnn 16698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	63, 10	nnexpcld 14251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
65	64	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
66	57, 65	pccld 16876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
67	66	nn0ge0d 12538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
68	61, 67	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
69	21, 68	pm2.61dane 3043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
70	69	ralrimiva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71		hashcl 14362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
72	71	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
73	72	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
74	64	nnzd 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75		pc2dvds 16905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
76	73, 74, 75	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
77	70, 76	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
79	78	breq2d 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	79	rspcev 3580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
81	10, 77, 80	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
82		pcprmpw2 16908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83		pcprmpw 16909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84	82, 83	bitr4d 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
85	4, 9, 84	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
86	81, 85	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))
87	4, 86	jca 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
88	87	3adantr2 1183	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
89	88	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
90	3, 89	biimtrid 244	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
91	1	pgpfi1 19625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92	91	3expia 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
93	92	rexlimdv 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
94	93	expimpd 457	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
95	94	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
96	90, 95	impbid 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  0cc0 11066   ≤ cle 11210  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ↑cexp 14067  ♯chash 14336   ∥ cdvds 16276  ℙcprime 16695   pCnt cpc 16862  Basecbs 17235  Grpcgrp 18965  odcod 19554   pGrp cpgp 19556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-dju 9852  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16863  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-eqg 19157  df-ga 19320  df-od 19558  df-pgp 19560

This theorem is referenced by:  pgpfi2  19636  sylow2alem2  19648  slwhash  19654  fislw  19655