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Theorem pgpfi 19387
Description: The converse to pgpfi1 19377. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . 4 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2ispgp 19374 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)))
4 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
51grpbn0 18779 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
87ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
96, 8mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
104, 9pccld 16722 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
1211leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1310nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14 pcid 16745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
154, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1612, 15breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1918oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
2018oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
2117, 19, 203brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
271, 2odcau 19386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2925adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31 iddvds 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝𝑝)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝𝑝)
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
3432, 33breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))
36 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3736rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3837rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
3935, 38sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
4039ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
414ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4433, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45 pcprmpw 16755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4641, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4740, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4834, 47breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4941, 44pccld 16722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50 prmdvdsexpr 16593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5129, 41, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
5328, 52rexlimddv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
5554necon3ad 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
5655imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
589ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59 pceq0 16743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6156, 60mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6362ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6463, 10nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6657, 65pccld 16722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6861, 67eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6921, 68pm2.61dane 3032 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
7069ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
7464nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75 pc2dvds 16751 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7673, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7770, 76mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
7978breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8079rspcev 3581 . . . . . . . 8 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
8110, 77, 80syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
82 pcprmpw2 16754 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83 pcprmpw 16755 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8482, 83bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
854, 9, 84syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8681, 85mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))
874, 86jca 512 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
88873adantr2 1170 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8988ex 413 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
903, 89biimtrid 241 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
911pgpfi1 19377 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92913expia 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
9392rexlimdv 3150 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9493expimpd 454 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9594adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9690, 95impbid 211 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  0cc0 11051  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  chash 14230  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708  Basecbs 17083  Grpcgrp 18748  odcod 19306   pGrp cpgp 19308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-eqg 18927  df-ga 19070  df-od 19310  df-pgp 19312
This theorem is referenced by:  pgpfi2  19388  sylow2alem2  19400  slwhash  19406  fislw  19407
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