Theorem pgpfi 19572

Description: The converse to pgpfi1 19562. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	ispgp 19559	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)))
4		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5	1	grpbn0 18931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7		hashnncl 14361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	6, 8	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
10	4, 9	pccld 16822	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	leidd 11812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
13	10	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14		pcid 16845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
15	4, 13, 14	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
16	12, 15	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
19	18	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
20	18	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
21	17, 19, 20	3brtr4d 5181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
24	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
27	1, 2	odcau 19571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
28	22, 24, 25, 26, 27	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
29	25	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30		prmz 16649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31		iddvds 16250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∥ 𝑝)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝑝)
33		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
34	32, 33	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))
36		fveqeq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
37	36	rexbidv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
38	37	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
39	35, 38	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
40	39	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
41	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
44	33, 43	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45		pcprmpw 16855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
46	41, 44, 45	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
47	40, 46	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
48	34, 47	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
49	41, 44	pccld 16822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50		prmdvdsexpr 16691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
51	29, 41, 49, 50	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
53	28, 52	rexlimddv 3150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
54	53	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
55	54	necon3ad 2942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
56	55	imp 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59		pceq0 16843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
60	57, 58, 59	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
61	56, 60	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62		prmnn 16648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	63, 10	nnexpcld 14243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
65	64	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
66	57, 65	pccld 16822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
67	66	nn0ge0d 12568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
68	61, 67	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
69	21, 68	pm2.61dane 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
70	69	ralrimiva 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71		hashcl 14351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
72	71	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
73	72	nn0zd 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
74	64	nnzd 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75		pc2dvds 16851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
76	73, 74, 75	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
77	70, 76	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
79	78	breq2d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	79	rspcev 3606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
81	10, 77, 80	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
82		pcprmpw2 16854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83		pcprmpw 16855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84	82, 83	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
85	4, 9, 84	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
86	81, 85	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))
87	4, 86	jca 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
88	87	3adantr2 1167	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
89	88	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
90	3, 89	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
91	1	pgpfi1 19562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92	91	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
93	92	rexlimdv 3142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
94	93	expimpd 452	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
95	94	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
96	90, 95	impbid 211	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  0cc0 11140   ≤ cle 11281  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ↑cexp 14062  ♯chash 14325   ∥ cdvds 16234  ℙcprime 16645   pCnt cpc 16808  Basecbs 17183  Grpcgrp 18898  odcod 19491   pGrp cpgp 19493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-pc 16809  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-eqg 19088  df-ga 19253  df-od 19495  df-pgp 19497

This theorem is referenced by:  pgpfi2  19573  sylow2alem2  19585  slwhash  19591  fislw  19592