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Theorem pgpfi 18298
Description: The converse to pgpfi1 18288. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2765 . . . 4 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2ispgp 18285 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)))
4 simprl 787 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
51grpbn0 17732 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
65ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 hashnncl 13364 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
87ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
96, 8mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
104, 9pccld 15848 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 11603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
1211leidd 10852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1310nn0zd 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14 pcid 15870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
154, 13, 14syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1612, 15breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1716ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1918oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
2018oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
2117, 19, 203brtr4d 4843 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
2423ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
271, 2odcau 18297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2925adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30 prmz 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31 iddvds 15294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝𝑝)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝𝑝)
33 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
3432, 33breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))
36 fveqeq2 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3736rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3837rspccva 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
3935, 38sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
4039ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
414ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4433, 43eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45 pcprmpw 15880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4641, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4740, 46mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4834, 47breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4941, 44pccld 15848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50 prmdvdsexpr 15722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5129, 41, 49, 50syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
5328, 52rexlimddv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
5453ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
5554necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
5655imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
589ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59 pceq0 15868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6057, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6156, 60mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62 prmnn 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6362ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6463, 10nnexpcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6564ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6657, 65pccld 15848 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11605 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6861, 67eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6921, 68pm2.61dane 3024 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
7069ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71 hashcl 13354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7271ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 11732 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
7464nnzd 11733 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75 pc2dvds 15876 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7673, 74, 75syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7770, 76mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78 oveq2 6854 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
7978breq2d 4823 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8079rspcev 3462 . . . . . . . 8 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
8110, 77, 80syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
82 pcprmpw2 15879 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83 pcprmpw 15880 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8482, 83bitr4d 273 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
854, 9, 84syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8681, 85mpbid 223 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))
874, 86jca 507 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
88873adantr2 1211 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8988ex 401 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
903, 89syl5bi 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
911pgpfi1 18288 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92913expia 1150 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
9392rexlimdv 3177 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9493expimpd 445 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9594adantr 472 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9690, 95impbid 203 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  0cc0 10193  cle 10333  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  cexp 13072  chash 13326  cdvds 15279  cprime 15679   pCnt cpc 15834  Basecbs 16144  Grpcgrp 17703  odcod 18222   pGrp cpgp 18224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-ec 7953  df-qs 7957  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-sum 14716  df-dvds 15280  df-gcd 15512  df-prm 15680  df-pc 15835  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-0g 16382  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-eqg 17871  df-ga 18000  df-od 18226  df-pgp 18228
This theorem is referenced by:  pgpfi2  18299  sylow2alem2  18311  slwhash  18317  fislw  18318
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