Theorem pgpfi 19580

Description: The converse to pgpfi1 19570. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	ispgp 19567	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)))
4		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5	1	grpbn0 18942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7		hashnncl 14328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
10	4, 9	pccld 16821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	leidd 11716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
13	10	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14		pcid 16844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
15	4, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
16	12, 15	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
19	18	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
20	18	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
21	17, 19, 20	3brtr4d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
27	1, 2	odcau 19579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
28	22, 24, 25, 26, 27	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
29	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30		prmz 16644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31		iddvds 16238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∥ 𝑝)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝑝)
33		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
34	32, 33	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))
36		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
37	36	rexbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
38	37	rspccva 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
39	35, 38	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
40	39	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
41	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
44	33, 43	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45		pcprmpw 16854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
46	41, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
47	40, 46	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
48	34, 47	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
49	41, 44	pccld 16821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50		prmdvdsexpr 16687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
51	29, 41, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
53	28, 52	rexlimddv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
55	54	necon3ad 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59		pceq0 16842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
60	57, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
61	56, 60	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62		prmnn 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	63, 10	nnexpcld 14207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
65	64	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
66	57, 65	pccld 16821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
67	66	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
68	61, 67	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
69	21, 68	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
70	69	ralrimiva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71		hashcl 14318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
72	71	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
73	72	nn0zd 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
74	64	nnzd 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75		pc2dvds 16850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
76	73, 74, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
77	70, 76	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
79	78	breq2d 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	79	rspcev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
81	10, 77, 80	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
82		pcprmpw2 16853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83		pcprmpw 16854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84	82, 83	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
85	4, 9, 84	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
86	81, 85	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))
87	4, 86	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
88	87	3adantr2 1172	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
89	88	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
90	3, 89	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
91	1	pgpfi1 19570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92	91	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
93	92	rexlimdv 3136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
94	93	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
95	94	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
96	90, 95	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023  ♯chash 14292   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640   pCnt cpc 16807  Basecbs 17179  Grpcgrp 18909  odcod 19499   pGrp cpgp 19501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-ga 19265  df-od 19503  df-pgp 19505

This theorem is referenced by:  pgpfi2  19581  sylow2alem2  19593  slwhash  19599  fislw  19600