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Theorem pgpfi 18709
Description: The converse to pgpfi1 18699. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2820 . . . 4 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2ispgp 18696 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)))
4 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
51grpbn0 18111 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 hashnncl 13712 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
87ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
96, 8mpbird 259 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
104, 9pccld 16165 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
1211leidd 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1310nn0zd 12064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14 pcid 16187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
154, 13, 14syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1612, 15breqtrrd 5070 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1918oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
2018oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
2117, 19, 203brtr4d 5074 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
271, 2odcau 18708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2925adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30 prmz 15997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31 iddvds 15603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝𝑝)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝𝑝)
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
3432, 33breqtrrd 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))
36 fveqeq2 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3736rexbidv 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3837rspccva 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
3935, 38sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
4039ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
414ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 15996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4433, 43eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45 pcprmpw 16197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4641, 44, 45syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4740, 46mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4834, 47breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4941, 44pccld 16165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50 prmdvdsexpr 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5129, 41, 49, 50syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
5328, 52rexlimddv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
5453ex 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
5554necon3ad 3019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
5655imp 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
589ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59 pceq0 16185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6057, 58, 59syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6156, 60mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62 prmnn 15996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6362ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6463, 10nnexpcld 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6657, 65pccld 16165 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11937 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6861, 67eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6921, 68pm2.61dane 3093 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
7069ralrimiva 3169 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71 hashcl 13702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12064 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
7464nnzd 12065 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75 pc2dvds 16193 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7673, 74, 75syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7770, 76mpbird 259 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78 oveq2 7141 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
7978breq2d 5054 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8079rspcev 3602 . . . . . . . 8 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
8110, 77, 80syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
82 pcprmpw2 16196 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83 pcprmpw 16197 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8482, 83bitr4d 284 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
854, 9, 84syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8681, 85mpbid 234 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))
874, 86jca 514 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
88873adantr2 1166 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8988ex 415 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
903, 89syl5bi 244 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
911pgpfi1 18699 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92913expia 1117 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
9392rexlimdv 3270 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9493expimpd 456 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9594adantr 483 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9690, 95impbid 214 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  c0 4269   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  0cc0 10515  cle 10654  cn 11616  0cn0 11876  cz 11960  cexp 13414  chash 13675  cdvds 15587  cprime 15993   pCnt cpc 16151  Basecbs 16462  Grpcgrp 18082  odcod 18631   pGrp cpgp 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-ec 8269  df-qs 8273  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-prm 15994  df-pc 16152  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-eqg 18257  df-ga 18399  df-od 18635  df-pgp 18637
This theorem is referenced by:  pgpfi2  18710  sylow2alem2  18722  slwhash  18728  fislw  18729
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