Theorem pgpfi 19534

Description: The converse to pgpfi1 19524. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	ispgp 19521	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)))
4		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5	1	grpbn0 18896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7		hashnncl 14289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
10	4, 9	pccld 16778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	leidd 11703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
13	10	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14		pcid 16801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
15	4, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
16	12, 15	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
20	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
21	17, 19, 20	3brtr4d 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
27	1, 2	odcau 19533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
28	22, 24, 25, 26, 27	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
29	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30		prmz 16602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31		iddvds 16196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∥ 𝑝)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝑝)
33		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
34	32, 33	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))
36		fveqeq2 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
37	36	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
38	37	rspccva 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
39	35, 38	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
40	39	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
41	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
44	33, 43	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45		pcprmpw 16811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
46	41, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
47	40, 46	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
48	34, 47	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
49	41, 44	pccld 16778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50		prmdvdsexpr 16644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
51	29, 41, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
53	28, 52	rexlimddv 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
55	54	necon3ad 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59		pceq0 16799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
61	56, 60	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	63, 10	nnexpcld 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
65	64	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
66	57, 65	pccld 16778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
67	66	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
68	61, 67	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
69	21, 68	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
70	69	ralrimiva 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
72	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
73	72	nn0zd 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
74	64	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75		pc2dvds 16807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
76	73, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
77	70, 76	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
79	78	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	79	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
81	10, 77, 80	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
82		pcprmpw2 16810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83		pcprmpw 16811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84	82, 83	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
85	4, 9, 84	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
86	81, 85	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))
87	4, 86	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
88	87	3adantr2 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
89	88	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
90	3, 89	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
91	1	pgpfi1 19524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92	91	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
93	92	rexlimdv 3135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
94	93	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
95	94	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
96	90, 95	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984  ♯chash 14253   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764  Basecbs 17136  Grpcgrp 18863  odcod 19453   pGrp cpgp 19455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-eqg 19055  df-ga 19219  df-od 19457  df-pgp 19459

This theorem is referenced by:  pgpfi2  19535  sylow2alem2  19547  slwhash  19553  fislw  19554