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Theorem pgpfi 19311
Description: The converse to pgpfi1 19301. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . 4 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2ispgp 19298 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)))
4 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
51grpbn0 18709 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 hashnncl 14190 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
87ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
96, 8mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
104, 9pccld 16653 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 12404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
1211leidd 11651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1310nn0zd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14 pcid 16676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
154, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
1612, 15breqtrrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1918oveq1d 7361 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
2018oveq1d 7361 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
2117, 19, 203brtr4d 5132 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
271, 2odcau 19310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
2925adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30 prmz 16482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31 iddvds 16083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝𝑝)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝𝑝)
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
3432, 33breqtrrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))
36 fveqeq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3736rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚)))
3837rspccva 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
3935, 38sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
4039ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚))
414ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 16481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4433, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
45 pcprmpw 16686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4641, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
4740, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4834, 47breqtrd 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
4941, 44pccld 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
50 prmdvdsexpr 16524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5129, 41, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
5328, 52rexlimddv 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
5453ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
5554necon3ad 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
5655imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
589ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
59 pceq0 16674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6057, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
6156, 60mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
62 prmnn 16481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6362ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6463, 10nnexpcld 14070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
6657, 65pccld 16653 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 12406 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6861, 67eqbrtrd 5122 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
6921, 68pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
7069ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71 hashcl 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12534 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
7464nnzd 12535 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
75 pc2dvds 16682 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7673, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
7770, 76mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78 oveq2 7354 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
7978breq2d 5112 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8079rspcev 3576 . . . . . . . 8 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
8110, 77, 80syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛))
82 pcprmpw2 16685 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83 pcprmpw 16686 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8482, 83bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
854, 9, 84syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8681, 85mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))
874, 86jca 513 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
88873adantr2 1170 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)))
8988ex 414 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
903, 89biimtrid 241 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
911pgpfi1 19301 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
92913expia 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
9392rexlimdv 3148 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9493expimpd 455 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9594adantr 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
9690, 95impbid 211 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  c0 4277   class class class wbr 5100  cfv 6488  (class class class)co 7346  Fincfn 8813  0cc0 10981  cle 11120  cn 12083  0cn0 12343  cz 12429  cexp 13892  chash 14154  cdvds 16067  cprime 16478   pCnt cpc 16639  Basecbs 17014  Grpcgrp 18678  odcod 19233   pGrp cpgp 19235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-disj 5066  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-oadd 8380  df-omul 8381  df-er 8578  df-ec 8580  df-qs 8584  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-dju 9767  df-card 9805  df-acn 9808  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-fac 14098  df-bc 14127  df-hash 14155  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-clim 15301  df-sum 15502  df-dvds 16068  df-gcd 16306  df-prm 16479  df-pc 16640  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-0g 17254  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mulg 18802  df-subg 18853  df-eqg 18855  df-ga 18997  df-od 19237  df-pgp 19239
This theorem is referenced by:  pgpfi2  19312  sylow2alem2  19324  slwhash  19330  fislw  19331
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