MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1lem 20027
Description: Lemma for ablfac1b 20029. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„™)
ablfac1.m ๐‘€ = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
ablfac1.n ๐‘ = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐ต   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4 ๐‘€ = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2 ablfac1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„™)
32sselda 3972 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4 prmnn 16642 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
7 ablgrp 19742 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
98grpbn0 18925 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
106, 7, 93syl 18 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
12 hashnncl 14355 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
1410, 13mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
163, 15pccld 16816 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
175, 16nnexpcld 14237 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
181, 17eqeltrid 2829 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
19 ablfac1.n . . . 4 ๐‘ = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€)
20 pcdvds 16830 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
213, 15, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
221, 21eqbrtrid 5178 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
23 nndivdvds 16237 . . . . . 6 (((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„•))
2415, 18, 23syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„•))
2522, 24mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
2619, 25eqeltrid 2829 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2718, 26jca 510 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
281oveq1i 7425 . . 3 (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ๐‘)
29 pcndvds2 16834 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
303, 15, 29syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
311oveq2i 7426 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3219, 31eqtri 2753 . . . . . . 7 ๐‘ = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3332breq2i 5151 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
3430, 33sylnibr 328 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
3526nnzd 12613 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
36 coprm 16679 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘) = 1))
373, 35, 36syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘) = 1))
3834, 37mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘) = 1)
39 prmz 16643 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
403, 39syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
41 rpexp1i 16692 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ๐‘) = 1))
4240, 35, 16, 41syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ๐‘) = 1))
4338, 42mpd 15 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ๐‘) = 1)
4428, 43eqtrid 2777 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4519oveq2i 7426 . . 3 (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€))
4615nncnd 12256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4718nncnd 12256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4818nnne0d 12290 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
4946, 47, 48divcan2d 12020 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘€ ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / ๐‘€)) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
5045, 49eqtr2id 2778 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
5127, 44, 503jca 1125 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  {crab 3419   โІ wss 3940  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  1c1 11137   ยท cmul 11141   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ†‘cexp 14056  โ™ฏchash 14319   โˆฅ cdvds 16228   gcd cgcd 16466  โ„™cprime 16639   pCnt cpc 16802  Basecbs 17177  Grpcgrp 18892  odcod 19481  Abelcabl 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-abl 19740
This theorem is referenced by:  ablfac1a  20028  ablfac1b  20029
  Copyright terms: Public domain W3C validator