MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1c 19190
Description: The factors of ablfac1b 19189 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
ablfac1c (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑤,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2 ablfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
32dprdssv 19135 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵)
5 ssfi 8726 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
61, 3, 5sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
7 hashcl 13717 . . . . 5 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
9 hashcl 13717 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11 ablfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
13 ablfac1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
14 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 19189 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
16 dprdsubg 19143 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
182lagsubg 18338 . . . . 5 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
1917, 1, 18syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
20 breq1 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
2220, 21elrab2 3634 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝐴)
2423sseld 3917 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞𝐷𝑞𝐴))
2522, 24syl5bir 246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴))
2625impl 459 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴)
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 19188 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
282fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
2928rabex 5202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
3029, 12dmmpti 6468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
3215, 31dprdf2 19126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3332ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3415adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑆 = 𝐴)
36 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
3734, 35, 36dprdub 19144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
39 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))
4039subsubg 18298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4233, 37, 41mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4339subgbas 18279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
456adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
4644, 45eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin)
47 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))
4847lagsubg 18338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∧ (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
4942, 46, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5044fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5149, 50breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5227, 51eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5314sselda 3918 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
548nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
57 ablgrp 18907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
582grpbn0 18128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
5913, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
60 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
6259, 61mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6456, 63pccld 16181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
6553, 64syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
66 pcdvdsb 16199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6753, 55, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6852, 67mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6968adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7026, 69syldan 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
71 pceq0 16201 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7256, 63, 71syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7372biimpar 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0)
74 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7574subg0cl 18283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
76 ne0i 4253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
7717, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
78 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
796, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
8077, 79mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8180adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8256, 81pccld 16181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ∈ ℕ0)
8382nn0ge0d 11950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8483adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8573, 84eqbrtrd 5055 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8670, 85pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8786ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8810nn0zd 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
89 pc2dvds 16209 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9088, 54, 89syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9187, 90mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
92 dvdseq 15660 . . . 4 ((((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
938, 10, 19, 91, 92syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
94 hashen 13707 . . . 4 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
956, 1, 94syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
9693, 95mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵)
97 fisseneq 8717 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
981, 4, 96, 97syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  {crab 3113  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  cen 8493  Fincfn 8496  0cc0 10530  cle 10669  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  cexp 13429  chash 13690  cdvds 15603  cprime 16009   pCnt cpc 16167  Basecbs 16479  s cress 16480  0gc0g 16709  Grpcgrp 18099  SubGrpcsubg 18269  odcod 18648  Abelcabl 18903   DProd cdprd 19112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-ga 18416  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-od 18652  df-lsm 18757  df-pj1 18758  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-dprd 19114
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  19205
  Copyright terms: Public domain W3C validator