MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1c 19982
Description: The factors of ablfac1b 19981 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
ablfac1c (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑤,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2 ablfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
32dprdssv 19927 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵)
5 ssfi 9175 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
61, 3, 5sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
7 hashcl 14320 . . . . 5 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
9 hashcl 14320 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11 ablfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
13 ablfac1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
14 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 19981 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
16 dprdsubg 19935 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
182lagsubg 19110 . . . . 5 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
1917, 1, 18syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
20 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
2220, 21elrab2 3685 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝐴)
2423sseld 3980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞𝐷𝑞𝐴))
2522, 24biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴))
2625impl 454 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴)
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 19980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
282fvexi 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
2928rabex 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
3029, 12dmmpti 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
3215, 31dprdf2 19918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3332ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3415adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑆 = 𝐴)
36 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
3734, 35, 36dprdub 19936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3817adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
39 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))
4039subsubg 19065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4233, 37, 41mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4339subgbas 19046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
456adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
4644, 45eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin)
47 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))
4847lagsubg 19110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∧ (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
4942, 46, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5044fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5149, 50breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5227, 51eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5314sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
548nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
57 ablgrp 19694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
582grpbn0 18887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
5913, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
60 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
6259, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6456, 63pccld 16787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
6553, 64syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
66 pcdvdsb 16806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6753, 55, 65, 66syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6852, 67mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6968adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7026, 69syldan 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
71 pceq0 16808 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7256, 63, 71syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7372biimpar 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0)
74 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7574subg0cl 19050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
76 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
7717, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
78 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
796, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
8077, 79mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8180adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8256, 81pccld 16787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ∈ ℕ0)
8382nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8483adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8573, 84eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8670, 85pm2.61dan 809 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8786ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8810nn0zd 12588 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
89 pc2dvds 16816 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9088, 54, 89syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9187, 90mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
92 dvdseq 16261 . . . 4 ((((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
938, 10, 19, 91, 92syl22anc 835 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
94 hashen 14311 . . . 4 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
956, 1, 94syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
9693, 95mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵)
97 fisseneq 9259 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
981, 4, 96, 97syl3anc 1369 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  {crab 3430  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  cfv 6542  (class class class)co 7411  cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11112  cle 11253  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  cexp 14031  chash 14294  cdvds 16201  cprime 16612   pCnt cpc 16773  Basecbs 17148  s cress 17177  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  odcod 19433  Abelcabl 19690   DProd cdprd 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-od 19437  df-lsm 19545  df-pj1 19546  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-dprd 19906
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  19997
  Copyright terms: Public domain W3C validator