MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1c 20092
Description: The factors of ablfac1b 20091 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
ablfac1c (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑤,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2 ablfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
32dprdssv 20037 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵)
5 ssfi 9214 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
61, 3, 5sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
7 hashcl 14396 . . . . 5 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
9 hashcl 14396 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11 ablfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
13 ablfac1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
14 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 20091 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
16 dprdsubg 20045 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
182lagsubg 19214 . . . . 5 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
1917, 1, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
20 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
2220, 21elrab2 3694 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝐴)
2423sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞𝐷𝑞𝐴))
2522, 24biimtrrid 243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴))
2625impl 455 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴)
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 20090 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
282fvexi 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
2928rabex 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
3029, 12dmmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = 𝐴
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
3215, 31dprdf2 20028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3332ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3415adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑆 = 𝐴)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
3734, 35, 36dprdub 20046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
39 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))
4039subsubg 19168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4233, 37, 41mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4339subgbas 19149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
456adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
4644, 45eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin)
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))
4847lagsubg 19214 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∧ (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
4942, 46, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5044fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5149, 50breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5227, 51eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5314sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
548nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
57 ablgrp 19804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
582grpbn0 18985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
5913, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
60 hashnncl 14406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
6259, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6456, 63pccld 16889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
6553, 64syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
66 pcdvdsb 16908 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6753, 55, 65, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6852, 67mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6968adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7026, 69syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
71 pceq0 16910 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7256, 63, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7372biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0)
74 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7574subg0cl 19153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
76 ne0i 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
7717, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
78 hashnncl 14406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
796, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
8077, 79mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8256, 81pccld 16889 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ∈ ℕ0)
8382nn0ge0d 12592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8483adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8573, 84eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8670, 85pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8786ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8810nn0zd 12641 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
89 pc2dvds 16918 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9088, 54, 89syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9187, 90mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
92 dvdseq 16352 . . . 4 ((((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
938, 10, 19, 91, 92syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
94 hashen 14387 . . . 4 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
956, 1, 94syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
9693, 95mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵)
97 fisseneq 9294 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
981, 4, 96, 97syl3anc 1372 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  cen 8983  Fincfn 8986  0cc0 11156  cle 11297  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cexp 14103  chash 14370  cdvds 16291  cprime 16709   pCnt cpc 16875  Basecbs 17248  s cress 17275  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  odcod 19543  Abelcabl 19800   DProd cdprd 20014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-ga 19309  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-od 19547  df-lsm 19655  df-pj1 19656  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-dprd 20016
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  20107
  Copyright terms: Public domain W3C validator