MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl3 18641
Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2 gexod.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
32grpbn0 18070 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4 r19.2z 4436 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
53, 4sylan 580 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
6 elfzuz2 12900 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
7 nnuz 12269 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrrdi 2921 . . . . . . 7 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
98rexlimivw 3279 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
105, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11943 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211faccld 13632 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13 elfzuzb 12890 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))))
14 elnnuz 12270 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1))
15 dvdsfac 15664 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1614, 15sylanbr 582 . . . . . . . . 9 (((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1713, 16sylbi 218 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1817adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥𝑋)
218adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322faccld 13632 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnzd 12074 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25 gexod.3 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
26 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.g𝐺) = (.g𝐺)
27 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
282, 25, 26, 27oddvds 18604 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
2919, 20, 24, 28syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3018, 29mpbid 233 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3130ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3231ralimdva 3174 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3332imp 407 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
34 gexod.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
352, 34, 26, 27gexlem2 18636 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
361, 12, 33, 35syl3anc 1363 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37 elfznn 12924 . 2 (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  cn 11626  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  !cfa 13621  cdvds 15595  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  odcod 18581  gExcgex 18582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-od 18585  df-gex 18586
This theorem is referenced by:  gexcl2  18643
  Copyright terms: Public domain W3C validator