MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl3 19547
Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2 gexod.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
32grpbn0 18928 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4 r19.2z 4496 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
53, 4sylan 578 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
6 elfzuz2 13544 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
7 nnuz 12901 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
98rexlimivw 3147 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
105, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 12568 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211faccld 14281 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13 elfzuzb 13533 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))))
14 elnnuz 12902 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1))
15 dvdsfac 16308 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1614, 15sylanbr 580 . . . . . . . . 9 (((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1713, 16sylbi 216 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1817adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥𝑋)
218adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221nnnn0d 12568 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322faccld 14281 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnzd 12621 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25 gexod.3 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
26 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.g𝐺) = (.g𝐺)
27 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
282, 25, 26, 27oddvds 19507 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
2919, 20, 24, 28syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3018, 29mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3130ex 411 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3231ralimdva 3163 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3332imp 405 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
34 gexod.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
352, 34, 26, 27gexlem2 19542 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
361, 12, 33, 35syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37 elfznn 13568 . 2 (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  c0 4324   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  1c1 11145  cn 12248  cz 12594  cuz 12858  ...cfz 13522  !cfa 14270  cdvds 16236  Basecbs 17185  0gc0g 17426  Grpcgrp 18895  .gcmg 19028  odcod 19484  gExcgex 19485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-od 19488  df-gex 19489
This theorem is referenced by:  gexcl2  19549
  Copyright terms: Public domain W3C validator