Theorem gexcl3 19107

Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		gexod.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	grpbn0 18523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4		r19.2z 4422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
5	3, 4	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
6		elfzuz2 13190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnuz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	6, 7	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	rexlimivw 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12223	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 13926	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13		elfzuzb 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))))
14		elnnuz 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1))
15		dvdsfac 15963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
16	14, 15	sylanbr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
17	13, 16	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	faccld 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25		gexod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
26		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
27		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
28	2, 25, 26, 27	oddvds 19070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
29	19, 20, 24, 28	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	18, 29	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
32	31	ralimdva 3102	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
33	32	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
34		gexod.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
35	2, 34, 26, 27	gexlem2 19102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
36	1, 12, 33, 35	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37		elfznn 13214	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
38	36, 37	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  !cfa 13915   ∥ cdvds 15891  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  odcod 19047  gExcgex 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-od 19051  df-gex 19052

This theorem is referenced by:  gexcl2  19109