MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl3 18691
Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2 gexod.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
32grpbn0 18111 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4 r19.2z 4416 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
53, 4sylan 582 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁))
6 elfzuz2 12896 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
7 nnuz 12260 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrrdi 2922 . . . . . . 7 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
98rexlimivw 3269 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
105, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11934 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211faccld 13629 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13 elfzuzb 12886 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))))
14 elnnuz 12261 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1))
15 dvdsfac 15656 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1614, 15sylanbr 584 . . . . . . . . 9 (((𝑂𝑥) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑂𝑥))) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1713, 16sylbi 219 . . . . . . . 8 ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
1817adantl 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥𝑋)
218adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221nnnn0d 11934 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322faccld 13629 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnzd 12065 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25 gexod.3 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
26 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (.g𝐺) = (.g𝐺)
27 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
282, 25, 26, 27oddvds 18654 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
2919, 20, 24, 28syl3anc 1367 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3018, 29mpbid 234 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3130ex 415 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3231ralimdva 3164 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3332imp 409 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
34 gexod.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
352, 34, 26, 27gexlem2 18686 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((!‘𝑁)(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
361, 12, 33, 35syl3anc 1367 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37 elfznn 12920 . 2 (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  c0 4269   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  1c1 10516  cn 11616  cz 11960  cuz 12222  ...cfz 12876  !cfa 13618  cdvds 15587  Basecbs 16462  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  .gcmg 18203  odcod 18631  gExcgex 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-dvds 15588  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-od 18635  df-gex 18636
This theorem is referenced by:  gexcl2  18693
  Copyright terms: Public domain W3C validator