Theorem gexcl3 19280

Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		gexod.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	grpbn0 18696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4		r19.2z 4438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
5	3, 4	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
6		elfzuz2 13354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnuz 12714	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	6, 7	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	rexlimivw 3144	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12386	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14091	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13		elfzuzb 13343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))))
14		elnnuz 12715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1))
15		dvdsfac 16126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
16	14, 15	sylanbr 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
17	13, 16	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	faccld 14091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 12518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25		gexod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
26		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
27		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
28	2, 25, 26, 27	oddvds 19243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
29	19, 20, 24, 28	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	18, 29	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
31	30	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
32	31	ralimdva 3160	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
33	32	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
34		gexod.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
35	2, 34, 26, 27	gexlem2 19275	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
36	1, 12, 33, 35	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37		elfznn 13378	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
38	36, 37	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∅c0 4268   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  1c1 10965  ℕcn 12066  ℤcz 12412  ℤ_≥cuz 12675  ...cfz 13332  !cfa 14080   ∥ cdvds 16054  Basecbs 17001  0_gc0g 17239  Grpcgrp 18665  ._gcmg 18788  odcod 19220  gExcgex 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-dvds 16055  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-od 19224  df-gex 19225

This theorem is referenced by:  gexcl2  19282