MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem5 19522
Description: Lemma for sylow1 19523. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly ๐‘ƒโ†‘๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
sylow1.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow1.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
sylow1.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
sylow1.d (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
sylow1lem.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow1lem.s ๐‘† = {๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹ โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (๐‘ƒโ†‘๐‘)}
sylow1lem.m โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
sylow1lem3.1 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โІ ๐‘† โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
sylow1lem4.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
sylow1lem4.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ต) = ๐ต}
sylow1lem5.l (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆ’ ๐‘))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)(โ™ฏโ€˜โ„Ž) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐‘”,โ„Ž,๐ป,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘”,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘”,๐‘   โ„Ž,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ง,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   + ,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ง, โˆผ   โŠ• ,๐‘”,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘”,๐บ,โ„Ž,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ƒ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘”,โ„Ž,๐‘ )   ๐ต(โ„Ž)   + (๐‘”,โ„Ž)   โŠ• (โ„Ž,๐‘ )   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž,๐‘ )   ๐‘†(โ„Ž,๐‘ )   ๐ป(๐‘ง,๐‘ข,๐‘ )

Proof of Theorem sylow1lem5
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 sylow1.g . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 sylow1.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 sylow1.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
5 sylow1.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6 sylow1.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
7 sylow1lem.a . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
8 sylow1lem.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹ โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (๐‘ƒโ†‘๐‘)}
9 sylow1lem.m . . . 4 โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow1lem2 19519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘†))
11 sylow1lem4.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
12 sylow1lem4.h . . . 4 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ต) = ๐ต}
131, 12gastacl 19225 . . 3 (( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘†) โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1410, 11, 13syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
15 sylow1lem3.1 . . . 4 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โІ ๐‘† โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12sylow1lem4 19521 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘))
17 sylow1lem5.l . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆ’ ๐‘))
1815, 1gaorber 19224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘†) โ†’ โˆผ Er ๐‘†)
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘†)
20 erdm 8715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( โˆผ Er ๐‘† โ†’ dom โˆผ = ๐‘†)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ dom โˆผ = ๐‘†)
2211, 21eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ dom โˆผ )
23 ecdmn0 8752 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ dom โˆผ โ†” [๐ต] โˆผ โ‰  โˆ…)
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ [๐ต] โˆผ โ‰  โˆ…)
25 pwfi 9180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
263, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
278ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† โІ ๐’ซ ๐‘‹
28 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โІ ๐’ซ ๐‘‹) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
2926, 27, 28sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
3019ecss 8751 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ [๐ต] โˆผ โІ ๐‘†)
3129, 30ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ [๐ต] โˆผ โˆˆ Fin)
32 hashnncl 14331 . . . . . . . . . . . . 13 ([๐ต] โˆผ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โˆˆ โ„• โ†” [๐ต] โˆผ โ‰  โˆ…))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โˆˆ โ„• โ†” [๐ต] โˆผ โ‰  โˆ…))
3424, 33mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โˆˆ โ„•)
354, 34pccld 16792 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โˆˆ โ„•0)
3635nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โˆˆ โ„)
375nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
381grpbn0 18896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)
392, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)
40 hashnncl 14331 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘‹ โ‰  โˆ…))
413, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘‹ โ‰  โˆ…))
4239, 41mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•)
434, 42pccld 16792 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„•0)
4443nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
45 leaddsub 11694 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + ๐‘) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆ’ ๐‘)))
4636, 37, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + ๐‘) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆ’ ๐‘)))
4717, 46mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + ๐‘) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
48 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (๐บ ~QG ๐ป) = (๐บ ~QG ๐ป)
491, 12, 48, 15orbsta2 19230 . . . . . . . . . 10 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘†) โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
5010, 11, 3, 49syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
5150oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) = (๐‘ƒ pCnt ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป))))
5234nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โˆˆ โ„ค)
5334nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โ‰  0)
54 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
5554subg0cl 19061 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ป)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ป)
5756ne0d 4330 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‰  โˆ…)
5812ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ป โІ ๐‘‹
59 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง ๐ป โІ ๐‘‹) โ†’ ๐ป โˆˆ Fin)
603, 58, 59sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ Fin)
61 hashnncl 14331 . . . . . . . . . . . 12 (๐ป โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„• โ†” ๐ป โ‰  โˆ…))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„• โ†” ๐ป โ‰  โˆ…))
6357, 62mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
6463nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค)
6563nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โ‰  0)
66 pcmul 16793 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) โ‰  0) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ป) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป))) = ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป))))
674, 52, 53, 64, 65, 66syl122anc 1376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป))) = ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป))))
6851, 67eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป))))
6947, 68breqtrd 5167 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + ๐‘) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป))))
704, 63pccld 16792 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)) โˆˆ โ„•0)
7170nn0red 12537 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)) โˆˆ โ„)
7237, 71, 36leadd2d 11813 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)) โ†” ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + ๐‘) โ‰ค ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐ต] โˆผ )) + (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)))))
7369, 72mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)))
74 pcdvdsb 16811 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ป)))
754, 64, 5, 74syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ป)) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ป)))
7673, 75mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ป))
77 prmnn 16618 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
784, 77syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7978, 5nnexpcld 14213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
8079nnzd 12589 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
81 dvdsle 16260 . . . . 5 (((๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ป) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ป)))
8280, 63, 81syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ป) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ป)))
8376, 82mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ป))
84 hashcl 14321 . . . . . 6 (๐ป โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„•0)
8560, 84syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„•0)
8685nn0red 12537 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) โˆˆ โ„)
8779nnred 12231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8886, 87letri3d 11360 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ป) = (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐ป) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ป))))
8916, 83, 88mpbir2and 710 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ป) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
90 fveqeq2 6894 . . 3 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ((โ™ฏโ€˜โ„Ž) = (๐‘ƒโ†‘๐‘) โ†” (โ™ฏโ€˜๐ป) = (๐‘ƒโ†‘๐‘)))
9190rspcev 3606 . 2 ((๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (โ™ฏโ€˜๐ป) = (๐‘ƒโ†‘๐‘)) โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)(โ™ฏโ€˜โ„Ž) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
9214, 89, 91syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)(โ™ฏโ€˜โ„Ž) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  ๐’ซ cpw 4597  {cpr 4625   class class class wbr 5141  {copab 5203   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   Er wer 8702  [cec 8703  Fincfn 8941  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047   ~QG cqg 19049   GrpAct cga 19205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-ga 19206
This theorem is referenced by:  sylow1  19523
  Copyright terms: Public domain W3C validator