MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem5 19303
Description: Lemma for sylow1 19304. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem5 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑠)   𝐵()   + (𝑔,)   (,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,,𝑠)   𝑆(,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow1.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow1.f . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow1.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . 4 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . 4 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
9 sylow1lem.m . . . 4 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow1lem2 19300 . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11 sylow1lem4.b . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
12 sylow1lem4.h . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
131, 12gastacl 19011 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410, 11, 13syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 sylow1lem3.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12sylow1lem4 19302 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
17 sylow1lem5.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1815, 1gaorber 19010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 Er 𝑆)
20 erdm 8579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom = 𝑆)
2211, 21eleqtrrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom )
23 ecdmn0 8616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom ↔ [𝐵] ≠ ∅)
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [𝐵] ≠ ∅)
25 pwfi 9043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
263, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
278ssrab3 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28 ssfi 9038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
3019ecss 8615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → [𝐵] 𝑆)
3129, 30ssfid 9132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → [𝐵] ∈ Fin)
32 hashnncl 14181 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐵] ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3424, 33mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ)
354, 34pccld 16648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℕ0)
3635nn0red 12395 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ)
375nn0red 12395 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
381grpbn0 18704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
392, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
40 hashnncl 14181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
413, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4239, 41mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
434, 42pccld 16648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
4443nn0red 12395 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45 leaddsub 11552 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4636, 37, 44, 45syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4717, 46mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
491, 12, 48, 15orbsta2 19016 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5010, 11, 3, 49syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5150oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))))
5234nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ)
5334nnne0d 12124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ≠ 0)
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5554subg0cl 18859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
5756ne0d 4282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
5812ssrab3 4027 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻𝑋
59 ssfi 9038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
603, 58, 59sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
61 hashnncl 14181 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6357, 62mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
6463nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6563nnne0d 12124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66 pcmul 16649 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
674, 52, 53, 64, 65, 66syl122anc 1378 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
6851, 67eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
6947, 68breqtrd 5118 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
704, 63pccld 16648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
7170nn0red 12395 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
7237, 71, 36leadd2d 11671 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
7369, 72mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74 pcdvdsb 16667 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
754, 64, 5, 74syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
7673, 75mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77 prmnn 16476 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
784, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7978, 5nnexpcld 14061 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
8079nnzd 12526 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
81 dvdsle 16118 . . . . 5 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8280, 63, 81syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8376, 82mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84 hashcl 14171 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
8560, 84syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
8685nn0red 12395 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
8779nnred 12089 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
8886, 87letri3d 11218 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁) ∧ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
8916, 83, 88mpbir2and 710 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁))
90 fveqeq2 6834 . . 3 ( = 𝐻 → ((♯‘) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)))
9190rspcev 3570 . 2 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)) → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
9214, 89, 91syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wrex 3070  {crab 3403  wss 3898  c0 4269  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575   class class class wbr 5092  {copab 5154  cmpt 5175  dom cdm 5620  ran crn 5621  cfv 6479  (class class class)co 7337  cmpo 7339   Er wer 8566  [cec 8567  Fincfn 8804  cr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   · cmul 10977  cle 11111  cmin 11306  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  cexp 13883  chash 14145  cdvds 16062  cprime 16473   pCnt cpc 16634  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  0gc0g 17247  Grpcgrp 18673  SubGrpcsubg 18845   ~QG cqg 18847   GrpAct cga 18991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-subg 18848  df-eqg 18850  df-ga 18992
This theorem is referenced by:  sylow1  19304
  Copyright terms: Public domain W3C validator