MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem5 18223
Description: Lemma for sylow1 18224. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem5 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑠)   𝐵()   + (𝑔,)   (,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,,𝑠)   𝑆(,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow1.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow1.f . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow1.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . 4 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . 4 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
9 sylow1lem.m . . . 4 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow1lem2 18220 . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11 sylow1lem4.b . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
12 sylow1lem4.h . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
131, 12gastacl 17948 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410, 11, 13syl2anc 565 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 sylow1lem3.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12sylow1lem4 18222 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
17 sylow1lem5.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1815, 1gaorber 17947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 Er 𝑆)
20 erdm 7905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom = 𝑆)
2211, 21eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom )
23 ecdmn0 7940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom ↔ [𝐵] ≠ ∅)
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [𝐵] ≠ ∅)
25 pwfi 8416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
263, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27 ssrab2 3836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
288, 27eqsstri 3784 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 8335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
3026, 28, 29sylancl 566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
3119ecss 7939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → [𝐵] 𝑆)
32 ssfi 8335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Fin ∧ [𝐵] 𝑆) → [𝐵] ∈ Fin)
3330, 31, 32syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → [𝐵] ∈ Fin)
34 hashnncl 13358 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐵] ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3624, 35mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ)
374, 36pccld 15761 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11553 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ)
395nn0red 11553 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
401grpbn0 17658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
412, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
42 hashnncl 13358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4441, 43mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
454, 44pccld 15761 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11553 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
47 leaddsub 10705 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4838, 39, 46, 47syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4917, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
50 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
511, 12, 50, 15orbsta2 17953 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5210, 11, 3, 51syl21anc 1475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5352oveq2d 6808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))))
5436nnzd 11682 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ)
5536nnne0d 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ≠ 0)
56 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5756subg0cl 17809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
5814, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
59 ne0i 4069 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ 𝐻𝐻 ≠ ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
61 ssrab2 3836 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
6212, 61eqsstri 3784 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻𝑋
63 ssfi 8335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
643, 62, 63sylancl 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
65 hashnncl 13358 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6760, 66mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
6867nnzd 11682 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6967nnne0d 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
70 pcmul 15762 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
714, 54, 55, 68, 69, 70syl122anc 1485 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
7253, 71eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
7349, 72breqtrd 4812 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
744, 67pccld 15761 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
7574nn0red 11553 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
7639, 75, 38leadd2d 10823 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
7773, 76mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
78 pcdvdsb 15779 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
794, 68, 5, 78syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
8077, 79mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
81 prmnn 15594 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
824, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 5nnexpcld 13236 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
8483nnzd 11682 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
85 dvdsle 15240 . . . . 5 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8684, 67, 85syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8780, 86mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
88 hashcl 13348 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
8964, 88syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
9089nn0red 11553 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
9183nnred 11236 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
9290, 91letri3d 10380 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁) ∧ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
9316, 87, 92mpbir2and 684 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁))
94 fveq2 6332 . . . 4 ( = 𝐻 → (♯‘) = (♯‘𝐻))
9594eqeq1d 2773 . . 3 ( = 𝐻 → ((♯‘) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)))
9695rspcev 3460 . 2 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)) → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
9714, 93, 96syl2anc 565 1 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {cpr 4318   class class class wbr 4786  {copab 4846  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794   Er wer 7892  [cec 7893  Fincfn 8108  cr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  cexp 13066  chash 13320  cdvds 15188  cprime 15591   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  SubGrpcsubg 17795   ~QG cqg 17797   GrpAct cga 17928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-subg 17798  df-eqg 17800  df-ga 17929
This theorem is referenced by:  sylow1  18224
  Copyright terms: Public domain W3C validator