Theorem sylow1lem5 19587

Description: Lemma for sylow1 19588. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem5	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,ℎ,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ℎ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐵(ℎ)   + (𝑔,ℎ)   ⊕ (ℎ,𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,ℎ,𝑠)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		sylow1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7		sylow1lem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		sylow1lem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
9		sylow1lem.m	. . . 4 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow1lem2 19584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11		sylow1lem4.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12		sylow1lem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
13	1, 12	gastacl 19295	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	10, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		sylow1lem3.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12	sylow1lem4 19586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))
17		sylow1lem5.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
18	15, 1	gaorber 19294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → ∼ Er 𝑆)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑆)
20		erdm 8736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ∼ Er 𝑆 → dom ∼ = 𝑆)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom ∼ = 𝑆)
22	11, 21	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ∼ )
23		ecdmn0 8775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom ∼ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅)
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ≠ ∅)
25		pwfi 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	3, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27	8	ssrab3 4062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28		ssfi 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
29	26, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
30	19	ecss 8774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ⊆ 𝑆)
31	29, 30	ssfid 9282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ∈ Fin)
32		hashnncl 14386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐵] ∼ ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
34	24, 33	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ)
35	4, 34	pccld 16869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ)
37	5	nn0red 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	1	grpbn0 18952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
40		hashnncl 14386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
43	4, 42	pccld 16869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		leaddsub 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
46	36, 37, 44, 45	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
47	17, 46	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
49	1, 12, 48, 15	orbsta2 19300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
50	10, 11, 3, 49	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
51	50	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))))
52	34	nnzd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ)
53	34	nnne0d 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0)
54		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
55	54	subg0cl 19120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
57	56	ne0d 4322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ ∅)
58	12	ssrab3 4062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
59		ssfi 9194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
60	3, 58, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
61		hashnncl 14386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
63	57, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
65	63	nnne0d 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66		pcmul 16870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
67	4, 52, 53, 64, 65, 66	syl122anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
68	51, 67	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
69	47, 68	breqtrd 5149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
70	4, 63	pccld 16869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0red 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
72	37, 71, 36	leadd2d 11839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
73	69, 72	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74		pcdvdsb 16888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
75	4, 64, 5, 74	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
76	73, 75	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77		prmnn 16692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
78	4, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78, 5	nnexpcld 14265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
80	79	nnzd 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
81		dvdsle 16328	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
82	80, 63, 81	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
83	76, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84		hashcl 14376	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
85	60, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
86	85	nn0red 12570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
87	79	nnred 12262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
88	86, 87	letri3d 11384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁) ∧ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
89	16, 83, 88	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁))
90		fveqeq2 6894	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ((♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)))
91	90	rspcev 3605	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)) → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))
92	14, 89, 91	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  {crab 3419   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {cpr 4608   class class class wbr 5123  {copab 5185   ↦ cmpt 5205  dom cdm 5665  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   Er wer 8723  [cec 8724  Fincfn 8966  ℝcr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   · cmul 11141   ≤ cle 11277   − cmin 11473  ℕcn 12247  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ↑cexp 14083  ♯chash 14350   ∥ cdvds 16271  ℙcprime 16689   pCnt cpc 16855  Basecbs 17228  +_gcplusg 17272  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18919  SubGrpcsubg 19106   ~_QG cqg 19108   GrpAct cga 19275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14351  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-sum 15704  df-dvds 16272  df-gcd 16513  df-prm 16690  df-pc 16856  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-subg 19109  df-eqg 19111  df-ga 19276

This theorem is referenced by:  sylow1  19588