Theorem sylow1lem5 19303

Description: Lemma for sylow1 19304. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem5	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,ℎ,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ℎ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐵(ℎ)   + (𝑔,ℎ)   ⊕ (ℎ,𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,ℎ,𝑠)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		sylow1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7		sylow1lem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		sylow1lem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
9		sylow1lem.m	. . . 4 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow1lem2 19300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11		sylow1lem4.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12		sylow1lem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
13	1, 12	gastacl 19011	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	10, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		sylow1lem3.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12	sylow1lem4 19302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))
17		sylow1lem5.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
18	15, 1	gaorber 19010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → ∼ Er 𝑆)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑆)
20		erdm 8579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ∼ Er 𝑆 → dom ∼ = 𝑆)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom ∼ = 𝑆)
22	11, 21	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ∼ )
23		ecdmn0 8616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom ∼ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅)
24	22, 23	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ≠ ∅)
25		pwfi 9043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	3, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27	8	ssrab3 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28		ssfi 9038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
29	26, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
30	19	ecss 8615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ⊆ 𝑆)
31	29, 30	ssfid 9132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ∈ Fin)
32		hashnncl 14181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐵] ∼ ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
34	24, 33	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ)
35	4, 34	pccld 16648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ)
37	5	nn0red 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	1	grpbn0 18704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
40		hashnncl 14181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
42	39, 41	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
43	4, 42	pccld 16648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		leaddsub 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
46	36, 37, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
47	17, 46	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
49	1, 12, 48, 15	orbsta2 19016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
50	10, 11, 3, 49	syl21anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
51	50	oveq2d 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))))
52	34	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ)
53	34	nnne0d 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0)
54		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
55	54	subg0cl 18859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
57	56	ne0d 4282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ ∅)
58	12	ssrab3 4027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
59		ssfi 9038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
60	3, 58, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
61		hashnncl 14181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
63	57, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
65	63	nnne0d 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66		pcmul 16649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
67	4, 52, 53, 64, 65, 66	syl122anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
68	51, 67	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
69	47, 68	breqtrd 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
70	4, 63	pccld 16648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0red 12395	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
72	37, 71, 36	leadd2d 11671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
73	69, 72	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74		pcdvdsb 16667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
75	4, 64, 5, 74	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
76	73, 75	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77		prmnn 16476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
78	4, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78, 5	nnexpcld 14061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
80	79	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
81		dvdsle 16118	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
82	80, 63, 81	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
83	76, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84		hashcl 14171	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
85	60, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
86	85	nn0red 12395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
87	79	nnred 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
88	86, 87	letri3d 11218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁) ∧ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
89	16, 83, 88	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁))
90		fveqeq2 6834	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ((♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)))
91	90	rspcev 3570	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)) → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))
92	14, 89, 91	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3403   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575   class class class wbr 5092  {copab 5154   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5620  ran crn 5621  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339   Er wer 8566  [cec 8567  Fincfn 8804  ℝcr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   · cmul 10977   ≤ cle 11111   − cmin 11306  ℕcn 12074  ℕ₀cn0 12334  ℤcz 12420  ↑cexp 13883  ♯chash 14145   ∥ cdvds 16062  ℙcprime 16473   pCnt cpc 16634  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059  0_gc0g 17247  Grpcgrp 18673  SubGrpcsubg 18845   ~_QG cqg 18847   GrpAct cga 18991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-subg 18848  df-eqg 18850  df-ga 18992

This theorem is referenced by:  sylow1  19304