Theorem sylow1lem5 19559

Description: Lemma for sylow1 19560. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem5	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,ℎ,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ℎ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐵(ℎ)   + (𝑔,ℎ)   ⊕ (ℎ,𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,ℎ,𝑠)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		sylow1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7		sylow1lem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		sylow1lem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
9		sylow1lem.m	. . . 4 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow1lem2 19556	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11		sylow1lem4.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12		sylow1lem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
13	1, 12	gastacl 19262	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	10, 11, 13	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		sylow1lem3.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12	sylow1lem4 19558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))
17		sylow1lem5.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
18	15, 1	gaorber 19261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → ∼ Er 𝑆)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑆)
20		erdm 8731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ∼ Er 𝑆 → dom ∼ = 𝑆)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom ∼ = 𝑆)
22	11, 21	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ∼ )
23		ecdmn0 8769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom ∼ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅)
24	22, 23	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ≠ ∅)
25		pwfi 9199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	3, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27	8	ssrab3 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28		ssfi 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
29	26, 27, 28	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
30	19	ecss 8768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ⊆ 𝑆)
31	29, 30	ssfid 9288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ∈ Fin)
32		hashnncl 14355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐵] ∼ ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
34	24, 33	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ)
35	4, 34	pccld 16816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ)
37	5	nn0red 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	1	grpbn0 18925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
40		hashnncl 14355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
42	39, 41	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
43	4, 42	pccld 16816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		leaddsub 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
46	36, 37, 44, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
47	17, 46	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
49	1, 12, 48, 15	orbsta2 19267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
50	10, 11, 3, 49	syl21anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
51	50	oveq2d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))))
52	34	nnzd 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ)
53	34	nnne0d 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0)
54		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
55	54	subg0cl 19091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
57	56	ne0d 4331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ ∅)
58	12	ssrab3 4072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
59		ssfi 9194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
60	3, 58, 59	sylancl 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
61		hashnncl 14355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
63	57, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
65	63	nnne0d 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66		pcmul 16817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
67	4, 52, 53, 64, 65, 66	syl122anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
68	51, 67	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
69	47, 68	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
70	4, 63	pccld 16816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0red 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
72	37, 71, 36	leadd2d 11837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
73	69, 72	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74		pcdvdsb 16835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
75	4, 64, 5, 74	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
76	73, 75	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77		prmnn 16642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
78	4, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78, 5	nnexpcld 14237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
80	79	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
81		dvdsle 16284	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
82	80, 63, 81	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
83	76, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84		hashcl 14345	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
85	60, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
86	85	nn0red 12561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
87	79	nnred 12255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
88	86, 87	letri3d 11384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁) ∧ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
89	16, 83, 88	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁))
90		fveqeq2 6900	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ((♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)))
91	90	rspcev 3602	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)) → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))
92	14, 89, 91	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419   ⊆ wss 3940  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  {cpr 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417   Er wer 8718  [cec 8719  Fincfn 8960  ℝcr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   · cmul 11141   ≤ cle 11277   − cmin 11472  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12586  ↑cexp 14056  ♯chash 14319   ∥ cdvds 16228  ℙcprime 16639   pCnt cpc 16802  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  0_gc0g 17418  Grpcgrp 18892  SubGrpcsubg 19077   ~_QG cqg 19079   GrpAct cga 19242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-eqg 19082  df-ga 19243

This theorem is referenced by:  sylow1  19560