Theorem sylow1lem5 19543

Description: Lemma for sylow1 19544. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem5	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,ℎ,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ℎ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐵(ℎ)   + (𝑔,ℎ)   ⊕ (ℎ,𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,ℎ,𝑠)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		sylow1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7		sylow1lem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		sylow1lem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
9		sylow1lem.m	. . . 4 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow1lem2 19540	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11		sylow1lem4.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12		sylow1lem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
13	1, 12	gastacl 19250	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	10, 11, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		sylow1lem3.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12	sylow1lem4 19542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))
17		sylow1lem5.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
18	15, 1	gaorber 19249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → ∼ Er 𝑆)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑆)
20		erdm 8656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ∼ Er 𝑆 → dom ∼ = 𝑆)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom ∼ = 𝑆)
22	11, 21	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ∼ )
23		ecdmn0 8698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom ∼ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅)
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ≠ ∅)
25		pwfi 9231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	3, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27	8	ssrab3 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28		ssfi 9109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
29	26, 27, 28	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
30	19	ecss 8697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ⊆ 𝑆)
31	29, 30	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ∈ Fin)
32		hashnncl 14301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐵] ∼ ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
34	24, 33	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ)
35	4, 34	pccld 16790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ)
37	5	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	1	grpbn0 18908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
40		hashnncl 14301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
43	4, 42	pccld 16790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		leaddsub 11625	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
46	36, 37, 44, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
47	17, 46	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
49	1, 12, 48, 15	orbsta2 19255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
50	10, 11, 3, 49	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
51	50	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))))
52	34	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ)
53	34	nnne0d 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
55	54	subg0cl 19076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
57	56	ne0d 4296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ ∅)
58	12	ssrab3 4036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
59		ssfi 9109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
60	3, 58, 59	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
61		hashnncl 14301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
63	57, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
65	63	nnne0d 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66		pcmul 16791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
67	4, 52, 53, 64, 65, 66	syl122anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
68	51, 67	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
69	47, 68	breqtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
70	4, 63	pccld 16790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0red 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
72	37, 71, 36	leadd2d 11744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
73	69, 72	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74		pcdvdsb 16809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
75	4, 64, 5, 74	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
76	73, 75	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77		prmnn 16613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
78	4, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78, 5	nnexpcld 14180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
80	79	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
81		dvdsle 16249	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
82	80, 63, 81	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
83	76, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
85	60, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
86	85	nn0red 12475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
87	79	nnred 12172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
88	86, 87	letri3d 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁) ∧ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
89	16, 83, 88	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁))
90		fveqeq2 6851	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ((♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)))
91	90	rspcev 3578	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)) → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))
92	14, 89, 91	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {cpr 4584   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   Er wer 8642  [cec 8643  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ↑cexp 13996  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062   ~_QG cqg 19064   GrpAct cga 19230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-eqg 19067  df-ga 19231

This theorem is referenced by:  sylow1  19544