Theorem sylow1lem5 19207

Description: Lemma for sylow1 19208. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow1lem.s	⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
sylow1lem.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
sylow1lem4.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem5	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,ℎ,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ℎ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧, ∼   ⊕ ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,ℎ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐵(ℎ)   + (𝑔,ℎ)   ⊕ (ℎ,𝑠)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,ℎ,𝑠)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow1.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		sylow1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7		sylow1lem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		sylow1lem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃↑𝑁)}
9		sylow1lem.m	. . . 4 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow1lem2 19204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11		sylow1lem4.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12		sylow1lem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐵) = 𝐵}
13	1, 12	gastacl 18915	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	10, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		sylow1lem3.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12	sylow1lem4 19206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁))
17		sylow1lem5.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
18	15, 1	gaorber 18914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → ∼ Er 𝑆)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑆)
20		erdm 8508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ∼ Er 𝑆 → dom ∼ = 𝑆)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom ∼ = 𝑆)
22	11, 21	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ∼ )
23		ecdmn0 8545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom ∼ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅)
24	22, 23	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ≠ ∅)
25		pwfi 8961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	3, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27	8	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
28		ssfi 8956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
29	26, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
30	19	ecss 8544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ⊆ 𝑆)
31	29, 30	ssfid 9042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → [𝐵] ∼ ∈ Fin)
32		hashnncl 14081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐵] ∼ ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ∼ ≠ ∅))
34	24, 33	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℕ)
35	4, 34	pccld 16551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ)
37	5	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	1	grpbn0 18608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
40		hashnncl 14081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
42	39, 41	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
43	4, 42	pccld 16551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		leaddsub 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
46	36, 37, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
47	17, 46	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
48		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
49	1, 12, 48, 15	orbsta2 18920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
50	10, 11, 3, 49	syl21anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻)))
51	50	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))))
52	34	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ)
53	34	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0)
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
55	54	subg0cl 18763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
57	56	ne0d 4269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ ∅)
58	12	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
59		ssfi 8956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
60	3, 58, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
61		hashnncl 14081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
63	57, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
65	63	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
66		pcmul 16552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ∼ ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ∼ ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
67	4, 52, 53, 64, 65, 66	syl122anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ∼ ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
68	51, 67	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
69	47, 68	breqtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
70	4, 63	pccld 16551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
71	70	nn0red 12294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
72	37, 71, 36	leadd2d 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] ∼ )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
73	69, 72	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
74		pcdvdsb 16570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
75	4, 64, 5, 74	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
76	73, 75	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
77		prmnn 16379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
78	4, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78, 5	nnexpcld 13960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
80	79	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
81		dvdsle 16019	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
82	80, 63, 81	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
83	76, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
84		hashcl 14071	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
85	60, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
86	85	nn0red 12294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
87	79	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
88	86, 87	letri3d 11117	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃↑𝑁) ∧ (𝑃↑𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
89	16, 83, 88	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁))
90		fveqeq2 6783	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ((♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)))
91	90	rspcev 3561	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃↑𝑁)) → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))
92	14, 89, 91	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘ℎ) = (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {cpr 4563   class class class wbr 5074  {copab 5136   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   Er wer 8495  [cec 8496  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   pCnt cpc 16537  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749   ~_QG cqg 18751   GrpAct cga 18895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-ga 18896

This theorem is referenced by:  sylow1  19208