MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ringnnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringnnzr 20042
Description: A ring is a zero ring iff it is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
0ringnnzr (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem 0ringnnzr
StepHypRef Expression
1 1re 10639 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
21ltnri 10747 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
3 breq2 5056 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → (1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ 1 < 1))
42, 3mtbiri 330 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
54adantl 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
65intnand 492 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
76ex 416 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
8 ianor 979 . . . . 5 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
9 pm2.21 123 . . . . . 6 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
10 fvex 6674 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
11 hashxrcl 13723 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝑅) ∈ V → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*
13 1xr 10698 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
14 xrlenlt 10704 . . . . . . . . 9 (((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . . 8 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1615bicomi 227 . . . . . . 7 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
17 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
18 1nn0 11910 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
19 hashbnd 13701 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
2010, 18, 17, 19mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
21 hashcl 13722 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
23 hasheq0 13729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2410, 23mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2524biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 → (Base‘𝑅) = ∅))
2625necon3d 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
2726impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0)
28 elnnne0 11908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ ↔ ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
2922, 27, 28sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
3029ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3221, 31syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3320, 32mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
34 nnle1eq1 11664 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
3617, 35mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
3736ex 416 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
38 ringgrp 19302 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4039grpbn0 18132 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4138, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4237, 41syl11 33 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4316, 42sylbi 220 . . . . . 6 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
449, 43jaoi 854 . . . . 5 ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
458, 44sylbi 220 . . . 4 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4645com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
477, 46impbid 215 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
4839isnzr2hash 20037 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
4948bicomi 227 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ 𝑅 ∈ NzRing)
5049notbii 323 . 2 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
5147, 50syl6bb 290 1 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  c0 4276   class class class wbr 5052  cfv 6343  Fincfn 8505  0cc0 10535  1c1 10536  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  cn 11634  0cn0 11894  chash 13695  Basecbs 16483  Grpcgrp 18103  Ringcrg 19297  NzRingcnzr 20030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-nzr 20031
This theorem is referenced by:  rng1nnzr  20047  lmod0rng  44418  0ringdif  44420  0ring1eq0  44422  lindszr  44804
  Copyright terms: Public domain W3C validator