MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ringnnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringnnzr 20662
Description: A ring is a zero ring iff it is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
0ringnnzr (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem 0ringnnzr
StepHypRef Expression
1 1re 11088 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
21ltnri 11197 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
3 breq2 5107 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → (1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ 1 < 1))
42, 3mtbiri 326 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
65intnand 489 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
76ex 413 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
8 ianor 980 . . . . 5 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
9 pm2.21 123 . . . . . 6 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
10 fvex 6850 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
11 hashxrcl 14184 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝑅) ∈ V → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*
13 1xr 11147 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
14 xrlenlt 11153 . . . . . . . . 9 (((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . . . 8 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1615bicomi 223 . . . . . . 7 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
17 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
18 1nn0 12362 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
19 hashbnd 14163 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
2010, 18, 17, 19mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
21 hashcl 14183 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
23 hasheq0 14190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2410, 23mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 → (Base‘𝑅) = ∅))
2625necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
2726impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0)
28 elnnne0 12360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ ↔ ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
2922, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
3029ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3221, 31syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3320, 32mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
34 nnle1eq1 12116 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
3617, 35mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
3736ex 413 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
38 ringgrp 19893 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4039grpbn0 18713 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4138, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4237, 41syl11 33 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4316, 42sylbi 216 . . . . . 6 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
449, 43jaoi 855 . . . . 5 ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
458, 44sylbi 216 . . . 4 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4645com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
477, 46impbid 211 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
4839isnzr2hash 20657 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
4948bicomi 223 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ 𝑅 ∈ NzRing)
5049notbii 319 . 2 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
5147, 50bitrdi 286 1 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  c0 4280   class class class wbr 5103  cfv 6491  Fincfn 8816  0cc0 10984  1c1 10985  *cxr 11121   < clt 11122  cle 11123  cn 12086  0cn0 12346  chash 14157  Basecbs 17017  Grpcgrp 18682  Ringcrg 19888  NzRingcnzr 20650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-hash 14158  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-plusg 17080  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-nzr 20651
This theorem is referenced by:  rng1nnzr  20667  prmidl0  32012  lmod0rng  45915  0ringdif  45917  0ring1eq0  45919  lindszr  46299
  Copyright terms: Public domain W3C validator