Theorem gexcl2 19682

Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl2 19658	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4	1, 2	oddvds2 19659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
5	3	nnzd 12628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
6	1	grpbn0 19056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
8		hashnncl 14415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
10	7, 9	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
11		dvdsle 16385	. . . . . . 7 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
13	4, 12	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))
14	10	nnzd 12628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
15		fznn 13632	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
17	3, 13, 16	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
18	17	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
19	18	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
20		gexcl2.2	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
21	1, 20, 2	gexcl3 19680	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋))) → 𝐸 ∈ ℕ)
22	19, 21	syldan 603	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  1c1 11112   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ...cfz 13546  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16327  Basecbs 17286  Grpcgrp 19023  odcod 19617  gExcgex 19618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-dvds 16328  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-eqg 19214  df-od 19621  df-gex 19622

This theorem is used by:  cyggexb  19992  pgpfac1lem3a  20171  pgpfaclem3  20178