Theorem gexcl2 19537

Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl2 19513	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4	1, 2	oddvds2 19514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
5	3	nnzd 12609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
6	1	grpbn0 18916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
8		hashnncl 14351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	8	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
10	7, 9	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
11		dvdsle 16280	. . . . . . 7 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
12	5, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
13	4, 12	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))
14	10	nnzd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
15		fznn 13595	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
17	3, 13, 16	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
18	17	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
19	18	ralrimiva 3142	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
20		gexcl2.2	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
21	1, 20, 2	gexcl3 19535	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋))) → 𝐸 ∈ ℕ)
22	19, 21	syldan 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  1c1 11133   ≤ cle 11273  ℕcn 12236  ℤcz 12582  ...cfz 13510  ♯chash 14315   ∥ cdvds 16224  Basecbs 17173  Grpcgrp 18883  odcod 19472  gExcgex 19473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-dvds 16225  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-eqg 19073  df-od 19476  df-gex 19477

This theorem is referenced by:  cyggexb  19847  pgpfac1lem3a  20026  pgpfaclem3  20033