Theorem gexcl2 19109

Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl2 19087	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4	1, 2	oddvds2 19088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
5	3	nnzd 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
6	1	grpbn0 18523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
8		hashnncl 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	8	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
10	7, 9	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
11		dvdsle 15947	. . . . . . 7 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
12	5, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
13	4, 12	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))
14	10	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
15		fznn 13253	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
17	3, 13, 16	mpbir2and 709	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
18	17	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
19	18	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
20		gexcl2.2	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
21	1, 20, 2	gexcl3 19107	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋))) → 𝐸 ∈ ℕ)
22	19, 21	syldan 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891  Basecbs 16840  Grpcgrp 18492  odcod 19047  gExcgex 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-od 19051  df-gex 19052

This theorem is referenced by:  cyggexb  19415  pgpfac1lem3a  19594  pgpfaclem3  19601