Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssub 18213
 Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m 𝑀 = (-g𝑅)
pwssub.n = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssub (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐼𝑉)
2 pwsgrp.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simprl 770 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹𝐵)
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 16762 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
87ffvelrnda 6842 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9 fvexd 6676 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
107feqmptd 6724 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
11 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 eqid 2824 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13 eqid 2824 . . . . . . 7 (invg𝑌) = (invg𝑌)
142, 4, 12, 13pwsinvg 18212 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
155, 1, 11, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
162, 3, 4, 5, 1, 11pwselbas 16762 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1716ffvelrnda 6842 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1816feqmptd 6724 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
193, 12grpinvf 18150 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2120feqmptd 6724 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg𝑅)‘𝑦)))
22 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((invg𝑅)‘𝑦) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))
2317, 18, 21, 22fmptco 6882 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
2415, 23eqtrd 2859 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
251, 8, 9, 10, 24offval2 7420 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
262pwsgrp 18211 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
274, 13grpinvcl 18151 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
2826, 11, 27syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
30 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
312, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30pwsplusgval 16763 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)))
32 pwssub.m . . . . . 6 𝑀 = (-g𝑅)
333, 29, 12, 32grpsubval 18149 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
348, 17, 33syl2anc 587 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
3534mpteq2dva 5147 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
3625, 31, 353eqtr4d 2869 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
37 pwssub.n . . . 4 = (-g𝑌)
384, 30, 13, 37grpsubval 18149 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
3938adantl 485 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
401, 8, 17, 10, 18offval2 7420 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f 𝑀𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
4136, 39, 403eqtr4d 2869 1 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5132   ∘ ccom 5546  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  Basecbs 16483  +gcplusg 16565   ↑s cpws 16720  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  -gcsg 18105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108 This theorem is referenced by:  evl1subd  20505  frlmsubgval  20909
 Copyright terms: Public domain W3C validator