MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssub 19050
Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m 𝑀 = (-g𝑅)
pwssub.n = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssub (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐼𝑉)
2 pwsgrp.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹𝐵)
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 17506 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
87ffvelcdmda 7100 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9 fvexd 6918 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
107feqmptd 6973 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
11 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (invg𝑌) = (invg𝑌)
142, 4, 12, 13pwsinvg 19049 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
155, 1, 11, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
162, 3, 4, 5, 1, 11pwselbas 17506 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1716ffvelcdmda 7100 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1816feqmptd 6973 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
193, 12grpinvf 18983 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2019ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2120feqmptd 6973 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg𝑅)‘𝑦)))
22 fveq2 6903 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((invg𝑅)‘𝑦) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))
2317, 18, 21, 22fmptco 7145 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
2415, 23eqtrd 2766 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
251, 8, 9, 10, 24offval2 7712 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
262pwsgrp 19048 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
274, 13grpinvcl 18984 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
2826, 11, 27syl2an2r 683 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29 eqid 2726 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
30 eqid 2726 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
312, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30pwsplusgval 17507 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)))
32 pwssub.m . . . . . 6 𝑀 = (-g𝑅)
333, 29, 12, 32grpsubval 18982 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
348, 17, 33syl2anc 582 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
3534mpteq2dva 5255 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
3625, 31, 353eqtr4d 2776 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
37 pwssub.n . . . 4 = (-g𝑌)
384, 30, 13, 37grpsubval 18982 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
3938adantl 480 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
401, 8, 17, 10, 18offval2 7712 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f 𝑀𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
4136, 39, 403eqtr4d 2776 1 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cmpt 5238  ccom 5688  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  f cof 7690  Basecbs 17215  +gcplusg 17268  s cpws 17463  Grpcgrp 18930  invgcminusg 18931  -gcsg 18932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935
This theorem is referenced by:  frlmsubgval  21765  evl1subd  22336
  Copyright terms: Public domain W3C validator