Theorem pwssub 18604

Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
pwssub.n	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssub	⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 17117	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9		fvexd 6771	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
10	7	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
14	2, 4, 12, 13	pwsinvg 18603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
15	5, 1, 11, 14	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
16	2, 3, 4, 5, 1, 11	pwselbas 17117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	16	feqmptd 6819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
19	3, 12	grpinvf 18541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
21	20	feqmptd 6819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝑦)))
22		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((invg‘𝑅)‘𝑦) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))
23	17, 18, 21, 22	fmptco 6983	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
24	15, 23	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
25	1, 8, 9, 10, 24	offval2 7531	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
26	2	pwsgrp 18602	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
27	4, 13	grpinvcl 18542	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
28	26, 11, 27	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
31	2, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30	pwsplusgval 17118	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
32		pwssub.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
33	3, 29, 12, 32	grpsubval 18540	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
34	8, 17, 33	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
35	34	mpteq2dva 5170	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
36	25, 31, 35	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
37		pwssub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
38	4, 30, 13, 37	grpsubval 18540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
39	38	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
40	1, 8, 17, 10, 18	offval2 7531	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f 𝑀𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
41	36, 39, 40	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   ↑_s cpws 17074  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497

This theorem is referenced by:  frlmsubgval  20882  evl1subd  21418