Theorem pwssub 18973

Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
pwssub.n	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssub	⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 17439	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9		fvexd 6905	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
10	7	feqmptd 6959	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
14	2, 4, 12, 13	pwsinvg 18972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
15	5, 1, 11, 14	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
16	2, 3, 4, 5, 1, 11	pwselbas 17439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	16	feqmptd 6959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
19	3, 12	grpinvf 18907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
21	20	feqmptd 6959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝑦)))
22		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((invg‘𝑅)‘𝑦) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))
23	17, 18, 21, 22	fmptco 7128	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
24	15, 23	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
25	1, 8, 9, 10, 24	offval2 7692	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
26	2	pwsgrp 18971	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
27	4, 13	grpinvcl 18908	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
28	26, 11, 27	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
31	2, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30	pwsplusgval 17440	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
32		pwssub.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
33	3, 29, 12, 32	grpsubval 18906	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
34	8, 17, 33	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
35	34	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
36	25, 31, 35	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
37		pwssub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
38	4, 30, 13, 37	grpsubval 18906	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
39	38	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
40	1, 8, 17, 10, 18	offval2 7692	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f 𝑀𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
41	36, 39, 40	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7670  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201   ↑_s cpws 17396  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  -_gcsg 18857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860

This theorem is referenced by:  frlmsubgval  21539  evl1subd  22081