MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssub 18937
Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m 𝑀 = (-g𝑅)
pwssub.n = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssub (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐼𝑉)
2 pwsgrp.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simprl 770 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹𝐵)
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 17435 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
87ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9 fvexd 6907 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
107feqmptd 6961 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
11 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (invg𝑌) = (invg𝑌)
142, 4, 12, 13pwsinvg 18936 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
155, 1, 11, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
162, 3, 4, 5, 1, 11pwselbas 17435 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1716ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1816feqmptd 6961 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
193, 12grpinvf 18871 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2120feqmptd 6961 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg𝑅)‘𝑦)))
22 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((invg𝑅)‘𝑦) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))
2317, 18, 21, 22fmptco 7127 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
2415, 23eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
251, 8, 9, 10, 24offval2 7690 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
262pwsgrp 18935 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
274, 13grpinvcl 18872 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
2826, 11, 27syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
30 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
312, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30pwsplusgval 17436 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐹f (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)))
32 pwssub.m . . . . . 6 𝑀 = (-g𝑅)
333, 29, 12, 32grpsubval 18870 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
348, 17, 33syl2anc 585 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
3534mpteq2dva 5249 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
3625, 31, 353eqtr4d 2783 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
37 pwssub.n . . . 4 = (-g𝑌)
384, 30, 13, 37grpsubval 18870 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
3938adantl 483 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
401, 8, 17, 10, 18offval2 7690 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹f 𝑀𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
4136, 39, 403eqtr4d 2783 1 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f 𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cmpt 5232  ccom 5681  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  f cof 7668  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  s cpws 17392  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824
This theorem is referenced by:  frlmsubgval  21320  evl1subd  21861
  Copyright terms: Public domain W3C validator