Theorem pwssub 19270

Description: Subtraction in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
pwssub.n	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssub	⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 17666	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9		fvexd 6901	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
10	7	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
14	2, 4, 12, 13	pwsinvg 19269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
15	5, 1, 11, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
16	2, 3, 4, 5, 1, 11	pwselbas 17666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	16	feqmptd 6954	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
19	3, 12	grpinvf 19203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
21	20	feqmptd 6954	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝑦)))
22		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((invg‘𝑅)‘𝑦) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))
23	17, 18, 21, 22	fmptco 7131	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
24	15, 23	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
25	1, 8, 9, 10, 24	offval2 7714	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
26	2	pwsgrp 19268	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
27	4, 13	grpinvcl 19204	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
28	26, 11, 27	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
31	2, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30	pwsplusgval 17668	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
32		pwssub.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
33	3, 29, 12, 32	grpsubval 19202	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
34	8, 17, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
35	34	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
36	25, 31, 35	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
37		pwssub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
38	4, 30, 13, 37	grpsubval 19202	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
39	38	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
40	1, 8, 17, 10, 18	offval2 7714	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f 𝑀𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
41	36, 39, 40	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434   ↑_s cpws 17623  Grpcgrp 19150  inv_gcminusg 19151  -_gcsg 19152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155

This theorem is used by:  frlmsubgval  22077  evl1subd  22666