Theorem pwssub 19050

Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
pwssub.n	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssub	⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 17506	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7100	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9		fvexd 6918	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
10	7	feqmptd 6973	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
14	2, 4, 12, 13	pwsinvg 19049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
15	5, 1, 11, 14	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺))
16	2, 3, 4, 5, 1, 11	pwselbas 17506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffvelcdmda 7100	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	16	feqmptd 6973	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
19	3, 12	grpinvf 18983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
21	20	feqmptd 6973	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (invg‘𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝑦)))
22		fveq2 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((invg‘𝑅)‘𝑦) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))
23	17, 18, 21, 22	fmptco 7145	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
24	15, 23	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
25	1, 8, 9, 10, 24	offval2 7712	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
26	2	pwsgrp 19048	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
27	4, 13	grpinvcl 18984	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
28	26, 11, 27	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
29		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
31	2, 4, 5, 1, 6, 28, 29, 30	pwsplusgval 17507	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
32		pwssub.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑅)
33	3, 29, 12, 32	grpsubval 18982	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
34	8, 17, 33	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥))))
35	34	mpteq2dva 5255	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑥)))))
36	25, 31, 35	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
37		pwssub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
38	4, 30, 13, 37	grpsubval 18982	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
39	38	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
40	1, 8, 17, 10, 18	offval2 7712	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘f 𝑀𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑀(𝐺‘𝑥))))
41	36, 39, 40	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑀𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ↦ cmpt 5238   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6552  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7690  Basecbs 17215  +_gcplusg 17268   ↑_s cpws 17463  Grpcgrp 18930  inv_gcminusg 18931  -_gcsg 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935

This theorem is referenced by:  frlmsubgval  21765  evl1subd  22336