MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppginv 19379
Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppginv.2 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppginv (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))

Proof of Theorem oppginv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 oppginv.2 . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
31, 2grpinvf 19005 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 oppgbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑂) = (+g𝑂)
74, 5, 6oppgplus 19368 . . . . 5 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥))
8 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
91, 4, 8, 2grprinv 19009 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥)) = (0g𝑅))
107, 9eqtrid 2788 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
1110ralrimiva 3145 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
125oppggrp 19377 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
135, 1oppgbas 19371 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
145, 8oppgid 19376 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑂)
15 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1613, 6, 14, 15isgrpinv 19012 . . . 4 (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
1712, 16syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
183, 11, 17mpbi2and 712 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑂) = 𝐼)
1918eqcomd 2742 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  oppgcoppg 19364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-oppg 19365
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19383  oppgtgp  24107  tgpconncomp  24122
  Copyright terms: Public domain W3C validator