Theorem oppginv 19264

Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppginv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppginv	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Proof of Theorem oppginv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		oppginv.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
3	1, 2	grpinvf 18891	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		oppgbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
7	4, 5, 6	oppgplus 19254	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥))
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	1, 4, 8, 2	grprinv 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
10	7, 9	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimiva 3122	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
12	5	oppggrp 19262	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
13	5, 1	oppgbas 19256	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
14	5, 8	oppgid 19261	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	13, 6, 14, 15	isgrpinv 18898	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
18	3, 11, 17	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑂) = 𝐼)
19	18	eqcomd 2736	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  inv_gcminusg 18839  opp_gcoppg 19250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-oppg 19251

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19268  oppgtgp  24006  tgpconncomp  24021