Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppginv 18138
 Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppginv.2 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppginv (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))

Proof of Theorem oppginv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 oppginv.2 . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
31, 2grpinvf 17819 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 oppgbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑂) = (+g𝑂)
74, 5, 6oppgplus 18128 . . . . 5 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥))
8 eqid 2824 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
91, 4, 8, 2grprinv 17822 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥)) = (0g𝑅))
107, 9syl5eq 2872 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
1110ralrimiva 3174 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
125oppggrp 18136 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
135, 1oppgbas 18130 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
145, 8oppgid 18135 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑂)
15 eqid 2824 . . . . 5 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1613, 6, 14, 15isgrpinv 17825 . . . 4 (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
1712, 16syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
183, 11, 17mpbi2and 705 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑂) = 𝐼)
1918eqcomd 2830 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  0gc0g 16452  Grpcgrp 17775  invgcminusg 17776  oppgcoppg 18124 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-oppg 18125 This theorem is referenced by:  oppgsubg  18142  oppgtgp  22271  tgpconncomp  22285
 Copyright terms: Public domain W3C validator