Theorem oppginv 19297

Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppginv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppginv	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Proof of Theorem oppginv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		oppginv.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
3	1, 2	grpinvf 18928	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		oppgbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
6		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
7	4, 5, 6	oppgplus 19284	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥))
8		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	1, 4, 8, 2	grprinv 18932	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
10	7, 9	eqtrid 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimiva 3141	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
12	5	oppggrp 19295	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
13	5, 1	oppgbas 19287	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
14	5, 8	oppgid 19294	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
15		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	13, 6, 14, 15	isgrpinv 18935	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
18	3, 11, 17	mpbi2and 711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑂) = 𝐼)
19	18	eqcomd 2733	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17406  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  opp_gcoppg 19280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-oppg 19281

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19301  oppgtgp  23976  tgpconncomp  23991