Theorem oppginv 19424

Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppginv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppginv	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Proof of Theorem oppginv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		oppginv.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
3	1, 2	grpinvf 19048	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		oppgbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
7	4, 5, 6	oppgplus 19414	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	1, 4, 8, 2	grprinv 19052	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
10	7, 9	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
12	5	oppggrp 19422	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
13	5, 1	oppgbas 19416	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
14	5, 8	oppgid 19421	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	13, 6, 14, 15	isgrpinv 19055	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
17	12, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
18	3, 11, 17	mpbi2and 724	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑂) = 𝐼)
19	18	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  opp_gcoppg 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-oppg 19411

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19428  oppgtgp  24255  tgpconncomp  24270