Theorem oppginv 19379

Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppginv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppginv	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Proof of Theorem oppginv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		oppginv.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
3	1, 2	grpinvf 19005	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		oppgbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
7	4, 5, 6	oppgplus 19368	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	1, 4, 8, 2	grprinv 19009	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
10	7, 9	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
12	5	oppggrp 19377	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
13	5, 1	oppgbas 19371	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
14	5, 8	oppgid 19376	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	13, 6, 14, 15	isgrpinv 19012	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (invg‘𝑂) = 𝐼))
18	3, 11, 17	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑂) = 𝐼)
19	18	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953  opp_gcoppg 19364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-oppg 19365

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19383  oppgtgp  24107  tgpconncomp  24122