MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppginv 19320
Description: Inverses in a group are a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppginv.2 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppginv (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))

Proof of Theorem oppginv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 oppginv.2 . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
31, 2grpinvf 18950 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
4 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 oppgbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝑂) = (+g𝑂)
74, 5, 6oppgplus 19307 . . . . 5 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
91, 4, 8, 2grprinv 18954 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(𝐼𝑥)) = (0g𝑅))
107, 9eqtrid 2780 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
1110ralrimiva 3143 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
125oppggrp 19318 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
135, 1oppgbas 19310 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
145, 8oppgid 19317 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑂)
15 eqid 2728 . . . . 5 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1613, 6, 14, 15isgrpinv 18957 . . . 4 (𝑂 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
1712, 16syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ((𝐼:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝐼𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (invg𝑂) = 𝐼))
183, 11, 17mpbi2and 710 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑂) = 𝐼)
1918eqcomd 2734 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝐼 = (invg𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  oppgcoppg 19303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-oppg 19304
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19324  oppgtgp  24022  tgpconncomp  24037
  Copyright terms: Public domain W3C validator