Theorem hosubfni 31862

Description: Functionality of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hosubfni	⊢ (𝑆 −op 𝑇) Fn ℋ

Proof of Theorem hosubfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hosubcli 31860	. 2 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
4		ffn 6658	. 2 ⊢ ((𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (𝑆 −op 𝑇) Fn ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑆 −op 𝑇) Fn ℋ

Syntax hints:   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  (class class class)co 7359   ℋchba 31010   −_op chod 31031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-hilex 31090  ax-hfvadd 31091  ax-hfvmul 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375  df-neg 11376  df-hvsub 31062  df-hodif 31823

This theorem is referenced by:  pjssdif2i  32265