HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosubcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosubcli 30987
Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hosubcli (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hodmval 30955 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
51ffvelcdmi 7073 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
62ffvelcdmi 7073 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubcl 30235 . . 3 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
85, 6, 7syl2anc 585 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
94, 8fmpti 7099 1 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5227  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  chba 30137   cmv 30143  op chod 30158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-hilex 30217  ax-hfvadd 30218  ax-hfvmul 30223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-ltxr 11240  df-sub 11433  df-neg 11434  df-hvsub 30189  df-hodif 30950
This theorem is referenced by:  hosubfni  30989  hosubcl  30991  hodsi  30993  hocsubdiri  30998  hodseqi  31012  ho0subi  31013  honegsubi  31014  hoaddsubi  31039  hosd1i  31040  honpncani  31045  hoddii  31207  unierri  31322  pjddii  31374
  Copyright terms: Public domain W3C validator