HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosubcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosubcli 31792
Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hosubcli (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hodmval 31760 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
41, 2, 3mp2an 691 . 2 (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
51ffvelcdmi 7115 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
62ffvelcdmi 7115 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubcl 31040 . . 3 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
85, 6, 7syl2anc 583 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
94, 8fmpti 7144 1 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2103  cmpt 5252  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  chba 30942   cmv 30948  op chod 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023  ax-hfvmul 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-ltxr 11325  df-sub 11518  df-neg 11519  df-hvsub 30994  df-hodif 31755
This theorem is referenced by:  hosubfni  31794  hosubcl  31796  hodsi  31798  hocsubdiri  31803  hodseqi  31817  ho0subi  31818  honegsubi  31819  hoaddsubi  31844  hosd1i  31845  honpncani  31850  hoddii  32012  unierri  32127  pjddii  32179
  Copyright terms: Public domain W3C validator