HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosubcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosubcli 31290
Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hosubcli (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hodmval 31258 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
41, 2, 3mp2an 689 . 2 (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
51ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
62ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
7 hvsubcl 30538 . . 3 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
85, 6, 7syl2anc 583 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
94, 8fmpti 7113 1 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  chba 30440   cmv 30446  op chod 30461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hfvmul 30526
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451  df-neg 11452  df-hvsub 30492  df-hodif 31253
This theorem is referenced by:  hosubfni  31292  hosubcl  31294  hodsi  31296  hocsubdiri  31301  hodseqi  31315  ho0subi  31316  honegsubi  31317  hoaddsubi  31342  hosd1i  31343  honpncani  31348  hoddii  31510  unierri  31625  pjddii  31677
  Copyright terms: Public domain W3C validator