Theorem hosubcli 32099

Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hosubcli	⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hosubcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		hodmval 32067	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 −op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝑆 −op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
5	1	ffvelcdmi 7080	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
6	2	ffvelcdmi 7080	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
7		hvsubcl 31347	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
9	4, 8	fmpti 7109	1 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ℋchba 31249   −_ℎ cmv 31255   −_op chod 31270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hfvmul 31335

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445  df-hvsub 31301  df-hodif 32062

This theorem is referenced by:  hosubfni  32101  hosubcl  32103  hodsi  32105  hocsubdiri  32110  hodseqi  32124  ho0subi  32125  honegsubi  32126  hoaddsubi  32151  hosd1i  32152  honpncani  32157  hoddii  32319  unierri  32434  pjddii  32486