Theorem salexct2 41300

Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 41295. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct2.1	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3	⊢ 𝐵 = (0[,]1)

Assertion

Ref	Expression
salexct2	⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10375	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3		1re 10328	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	rexri 10387	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
6		0lt1 10842	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 1)
8		salexct2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
9	2, 5, 7, 8	iccnct 40512	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
10	9	mptru 1661	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ≼ ω
11		2re 11387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	rexri 10387	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
14		1lt2 11491	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
16		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (1(,]2) = (1(,]2)
17	5, 13, 15, 16	iocnct 40511	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
18	17	mptru 1661	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1(,]2) ≼ ω
19		salexct2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
20	19, 8	difeq12i 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
21	2, 5, 7	xrltled 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 1)
22	2, 5, 13, 21	iccdificc 40510	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
23	22	mptru 1661	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
24	20, 23	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = (1(,]2)
25	24	breq1i 4850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
26	18, 25	mtbir 315	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω
27	10, 26	pm3.2i 463	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
28		ioran 1007	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
29	27, 28	mpbir 223	. . 3 ⊢ ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
30	29	intnan 481	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
31		breq1 4846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
32		difeq2 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐵))
33	32	breq1d 4853	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
34	31, 33	orbi12d 943	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
35		salexct2.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
36	34, 35	elrab2 3560	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
37	30, 36	mtbir 315	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ∈ wcel 2157  {crab 3093   ∖ cdif 3766  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  ωcom 7299   ≼ cdom 8193  0cc0 10224  1c1 10225  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363  2c2 11368  (,]cioc 12425  [,]cicc 12427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-ntr 21153

This theorem is referenced by:  salexct3  41303  salgencntex  41304  salgensscntex  41305