Theorem salexct2 46796

Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 46791. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct2.1	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3	⊢ 𝐵 = (0[,]1)

Assertion

Ref	Expression
salexct2	⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3		1xr 11199	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5		0lt1 11667	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 1)
7		salexct2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
8	2, 4, 6, 7	iccnct 46000	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
9	8	mptru 1555	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ≼ ω
10		2re 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	rexri 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13		1lt2 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (1(,]2) = (1(,]2)
16	4, 12, 14, 15	iocnct 45999	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
17	16	mptru 1555	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1(,]2) ≼ ω
18		salexct2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
19	18, 7	difeq12i 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
20	2, 4, 6	xrltled 13096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 1)
21	2, 4, 12, 20	iccdificc 45998	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
22	21	mptru 1555	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
23	19, 22	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = (1(,]2)
24	23	breq1i 5082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
25	17, 24	mtbir 325	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω
26	9, 25	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
27		ioran 992	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
28	26, 27	mpbir 233	. . 3 ⊢ ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
29	28	intnan 488	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
30		breq1 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31		difeq2 4054	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐵))
32	31	breq1d 5085	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
33	30, 32	orbi12d 925	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
34		salexct2.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
35	33, 34	elrab2 3634	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
36	29, 35	mtbir 325	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  {crab 3393   ∖ cdif 3882  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  0cc0 11033  1c1 11034  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  2c2 12231  (,]cioc 13294  [,]cicc 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-ntr 23007

This theorem is referenced by:  salexct3  46799  salgencntex  46800  salgensscntex  46801