Theorem salexct2 46260

Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 46255. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct2.1	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3	⊢ 𝐵 = (0[,]1)

Assertion

Ref	Expression
salexct2	⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3		1xr 11349	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5		0lt1 11812	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 1)
7		salexct2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
8	2, 4, 6, 7	iccnct 45459	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
9	8	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ≼ ω
10		2re 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	rexri 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13		1lt2 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1(,]2) = (1(,]2)
16	4, 12, 14, 15	iocnct 45458	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
17	16	mptru 1544	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1(,]2) ≼ ω
18		salexct2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
19	18, 7	difeq12i 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
20	2, 4, 6	xrltled 13212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 1)
21	2, 4, 12, 20	iccdificc 45457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
22	21	mptru 1544	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
23	19, 22	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = (1(,]2)
24	23	breq1i 5173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
25	17, 24	mtbir 323	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω
26	9, 25	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
27		ioran 984	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
28	26, 27	mpbir 231	. . 3 ⊢ ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
29	28	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
30		breq1 5169	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31		difeq2 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐵))
32	31	breq1d 5176	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
33	30, 32	orbi12d 917	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
34		salexct2.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
35	33, 34	elrab2 3711	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
36	29, 35	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ∖ cdif 3973  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  0cc0 11184  1c1 11185  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  2c2 12348  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-ntr 23049

This theorem is referenced by:  salexct3  46263  salgencntex  46264  salgensscntex  46265