Theorem salexct2 47552

Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 47547. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct2.1	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3	⊢ 𝐵 = (0[,]1)

Assertion

Ref	Expression
salexct2	⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11380	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3		1xr 11392	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5		0lt1 11862	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 1)
7		salexct2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
8	2, 4, 6, 7	iccnct 46756	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
9	8	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ≼ ω
10		2re 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	rexri 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13		1lt2 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1(,]2) = (1(,]2)
16	4, 12, 14, 15	iocnct 46755	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
17	16	mptru 1577	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1(,]2) ≼ ω
18		salexct2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
19	18, 7	difeq12i 4064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
20	2, 4, 6	xrltled 13303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 1)
21	2, 4, 12, 20	iccdificc 46754	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
22	21	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
23	19, 22	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = (1(,]2)
24	23	breq1i 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
25	17, 24	mtbir 326	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω
26	9, 25	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
27		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
28	26, 27	mpbir 234	. . 3 ⊢ ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
29	28	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
30		breq1 5109	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31		difeq2 4060	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐵))
32	31	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
33	30, 32	orbi12d 932	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
34		salexct2.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
35	33, 34	elrab2 3652	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
36	29, 35	mtbir 326	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  0cc0 11224  1c1 11225  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367  2c2 12421  (,]cioc 13501  [,]cicc 13503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-ntr 23365

This theorem is used by:  salexct3  47555  salgencntex  47556  salgensscntex  47557