Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct2 44666
Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 44661. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct2.1 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3 𝐵 = (0[,]1)
Assertion
Ref Expression
salexct2 ¬ 𝐵𝑆
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2
StepHypRef Expression
1 0xr 11207 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3 1xr 11219 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5 0lt1 11682 . . . . . . . 8 0 < 1
65a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 1)
7 salexct2.3 . . . . . . 7 𝐵 = (0[,]1)
82, 4, 6, 7iccnct 43865 . . . . . 6 (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
98mptru 1549 . . . . 5 ¬ 𝐵 ≼ ω
10 2re 12232 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1110rexri 11218 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13 1lt2 12329 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1(,]2) = (1(,]2)
164, 12, 14, 15iocnct 43864 . . . . . . 7 (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
1716mptru 1549 . . . . . 6 ¬ (1(,]2) ≼ ω
18 salexct2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1918, 7difeq12i 4081 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
202, 4, 6xrltled 13075 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ≤ 1)
212, 4, 12, 20iccdificc 43863 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
2221mptru 1549 . . . . . . . 8 ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
2319, 22eqtri 2761 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = (1(,]2)
2423breq1i 5113 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
2517, 24mtbir 323 . . . . 5 ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω
269, 25pm3.2i 472 . . . 4 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω)
27 ioran 983 . . . 4 (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω))
2826, 27mpbir 230 . . 3 ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)
2928intnan 488 . 2 ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω))
30 breq1 5109 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31 difeq2 4077 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
3231breq1d 5116 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝐵) ≼ ω))
3330, 32orbi12d 918 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
34 salexct2.2 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
3533, 34elrab2 3649 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
3629, 35mtbir 323 1 ¬ 𝐵𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  {crab 3406  cdif 3908  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  ωcom 7803  cdom 8884  0cc0 11056  1c1 11057  *cxr 11193   < clt 11194  2c2 12213  (,]cioc 13271  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-ntr 22387
This theorem is referenced by:  salexct3  44669  salgencntex  44670  salgensscntex  44671
  Copyright terms: Public domain W3C validator