Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct2 42629
 Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 42624. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct2.1 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3 𝐵 = (0[,]1)
Assertion
Ref Expression
salexct2 ¬ 𝐵𝑆
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2
StepHypRef Expression
1 0xr 10690 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3 1xr 10702 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5 0lt1 11164 . . . . . . . 8 0 < 1
65a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 1)
7 salexct2.3 . . . . . . 7 𝐵 = (0[,]1)
82, 4, 6, 7iccnct 41824 . . . . . 6 (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
98mptru 1544 . . . . 5 ¬ 𝐵 ≼ ω
10 2re 11714 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1110rexri 10701 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13 1lt2 11811 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
15 eqid 2823 . . . . . . . 8 (1(,]2) = (1(,]2)
164, 12, 14, 15iocnct 41823 . . . . . . 7 (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
1716mptru 1544 . . . . . 6 ¬ (1(,]2) ≼ ω
18 salexct2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1918, 7difeq12i 4099 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
202, 4, 6xrltled 12546 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ≤ 1)
212, 4, 12, 20iccdificc 41822 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
2221mptru 1544 . . . . . . . 8 ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
2319, 22eqtri 2846 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = (1(,]2)
2423breq1i 5075 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
2517, 24mtbir 325 . . . . 5 ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω
269, 25pm3.2i 473 . . . 4 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω)
27 ioran 980 . . . 4 (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω))
2826, 27mpbir 233 . . 3 ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)
2928intnan 489 . 2 ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω))
30 breq1 5071 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31 difeq2 4095 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
3231breq1d 5078 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝐵) ≼ ω))
3330, 32orbi12d 915 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
34 salexct2.2 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
3533, 34elrab2 3685 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
3629, 35mtbir 325 1 ¬ 𝐵𝑆
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3144   ∖ cdif 3935  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ωcom 7582   ≼ cdom 8509  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ*cxr 10676   < clt 10677  2c2 11695  (,]cioc 12742  [,]cicc 12744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-ntr 21630 This theorem is referenced by:  salexct3  42632  salgencntex  42633  salgensscntex  42634
 Copyright terms: Public domain W3C validator