Theorem salexct2 45045

Description: An example of a subset that does not belong to a nontrivial sigma-algebra, see salexct 45040. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct2.1	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3	⊢ 𝐵 = (0[,]1)

Assertion

Ref	Expression
salexct2	⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3		1xr 11272	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
5		0lt1 11735	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < 1)
7		salexct2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
8	2, 4, 6, 7	iccnct 44244	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
9	8	mptru 1548	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ≼ ω
10		2re 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	rexri 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
13		1lt2 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1(,]2) = (1(,]2)
16	4, 12, 14, 15	iocnct 44243	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
17	16	mptru 1548	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1(,]2) ≼ ω
18		salexct2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
19	18, 7	difeq12i 4120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
20	2, 4, 6	xrltled 13128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 1)
21	2, 4, 12, 20	iccdificc 44242	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
22	21	mptru 1548	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
23	19, 22	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) = (1(,]2)
24	23	breq1i 5155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
25	17, 24	mtbir 322	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω
26	9, 25	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
27		ioran 982	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
28	26, 27	mpbir 230	. . 3 ⊢ ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)
29	28	intnan 487	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
30		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
31		difeq2 4116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐵))
32	31	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω))
33	30, 32	orbi12d 917	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
34		salexct2.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
35	33, 34	elrab2 3686	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ ω)))
36	29, 35	mtbir 322	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∖ cdif 3945  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ωcom 7854   ≼ cdom 8936  0cc0 11109  1c1 11110  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  2c2 12266  (,]cioc 13324  [,]cicc 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-ntr 22523

This theorem is referenced by:  salexct3  45048  salgencntex  45049  salgensscntex  45050