MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincmb01cmp 13468
Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 0red 11213 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
4 elicc01 13439 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
54simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7 difrp 13008 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
87biimp3a 1465 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
10 eqid 2724 . . . . . . 7 (0 · (𝐵𝐴)) = (0 · (𝐵𝐴))
11 eqid 2724 . . . . . . 7 (1 · (𝐵𝐴)) = (1 · (𝐵𝐴))
1210, 11iccdil 13463 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
132, 3, 6, 9, 12syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))))
15 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1715, 16resubcld 11638 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 11238 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1918mul02d 11408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐵𝐴)) = 0)
2018mullidd 11228 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
2119, 20oveq12d 7419 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))) = (0[,](𝐵𝐴)))
2214, 21eleqtrd 2827 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)))
236, 17remulcld 11240 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
24 eqid 2724 . . . . 5 (0 + 𝐴) = (0 + 𝐴)
25 eqid 2724 . . . . 5 ((𝐵𝐴) + 𝐴) = ((𝐵𝐴) + 𝐴)
2624, 25iccshftr 13459 . . . 4 (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴))))
272, 17, 23, 16, 26syl22anc 836 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴))))
2822, 27mpbid 231 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴)))
296recnd 11238 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
3015recnd 11238 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3129, 30mulcld 11230 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
3216recnd 11238 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3329, 32mulcld 11230 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
3431, 33, 32subadd23d 11589 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
3529, 30, 32subdid 11666 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
3635oveq1d 7416 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴))
37 1re 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 resubcl 11520 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
3937, 6, 38sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4039, 16remulcld 11240 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
4140recnd 11238 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ)
4241, 31addcomd 11412 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
43 1cnd 11205 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
4443, 29, 32subdird 11667 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
4532mullidd 11228 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4645oveq1d 7416 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
4744, 46eqtrd 2764 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
4847oveq2d 7417 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
4942, 48eqtrd 2764 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
5034, 36, 493eqtr4d 2774 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
5132addlidd 11411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
5230, 32npcand 11571 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
5351, 52oveq12d 7419 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴)) = (𝐴[,]𝐵))
5428, 50, 533eltr3d 2839 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  +crp 12970  [,]cicc 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-rp 12971  df-icc 13327
This theorem is referenced by:  iccf1o  13469  icccvx  24785  efcvx  26291  logccv  26501  cvxcl  26821
  Copyright terms: Public domain W3C validator