Theorem lincmb01cmp 13540

Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lincmb01cmp	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmb01cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2		0red 11229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
4		elicc01 13511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7		difrp 13074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))
8	7	biimp3a 1498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
10		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
11		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
12	10, 11	iccdil 13535	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
13	2, 3, 6, 9, 12	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
14	1, 13	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
15		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
20	18	mullidd 11245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
21	19, 20	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = (0[,](𝐵 − 𝐴)))
22	14, 21	eleqtrd 2868	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)))
23	6, 17	remulcld 11257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = (0 + 𝐴)
25		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)
26	24, 25	iccshftr 13531	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
27	2, 17, 23, 16, 26	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
28	22, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)))
29	6	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
30	15	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	16	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	29, 32	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	31, 33, 32	subadd23d 11609	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
35	29, 30, 32	subdid 11688	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
36	35	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴))
37		1re 11226	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		resubcl 11540	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
39	37, 6, 38	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
40	39, 16	remulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ)
42	41, 31	addcomd 11430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
43		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
44	43, 29, 32	subdird 11689	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
45	32	mullidd 11245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	45	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
47	44, 46	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
48	47	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
49	42, 48	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
50	34, 36, 49	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
51	32	addlidd 11429	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
52	30, 32	npcand 11591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
53	51, 52	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)) = (𝐴[,]𝐵))
54	28, 50, 53	3eltr3d 2880	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℝ⁺crp 13034  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-rp 13035  df-icc 13397

This theorem is used by:  iccf1o  13541  icccvx  25146  efcvx  26649  logccv  26865  cvxcl  27186