MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincmb01cmp 13490
Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
2 0red 11233 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3 1red 11231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4 elicc01 13461 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
54simp1bi 1143 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
65adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
7 difrp 13030 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+))
87biimp3a 1466 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
98adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
10 eqid 2727 . . . . . . 7 (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))
11 eqid 2727 . . . . . . 7 (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))
1210, 11iccdil 13485 . . . . . 6 (((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
132, 3, 6, 9, 12syl22anc 838 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
15 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
16 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1715, 16resubcld 11658 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
1817recnd 11258 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1918mul02d 11428 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = 0)
2018mullidd 11248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
2119, 20oveq12d 7432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = (0[,](๐ต โˆ’ ๐ด)))
2214, 21eleqtrd 2830 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,](๐ต โˆ’ ๐ด)))
236, 17remulcld 11260 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
24 eqid 2727 . . . . 5 (0 + ๐ด) = (0 + ๐ด)
25 eqid 2727 . . . . 5 ((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด)
2624, 25iccshftr 13481 . . . 4 (((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,](๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) โˆˆ ((0 + ๐ด)[,]((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด))))
272, 17, 23, 16, 26syl22anc 838 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,](๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) โˆˆ ((0 + ๐ด)[,]((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด))))
2822, 27mpbid 231 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) โˆˆ ((0 + ๐ด)[,]((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด)))
296recnd 11258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
3015recnd 11258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3129, 30mulcld 11250 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3216recnd 11258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3329, 32mulcld 11250 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3431, 33, 32subadd23d 11609 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((๐‘‡ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)) + ๐ด) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐ด โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด))))
3529, 30, 32subdid 11686 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)))
3635oveq1d 7429 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = (((๐‘‡ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)) + ๐ด))
37 1re 11230 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
38 resubcl 11540 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
3937, 6, 38sylancr 586 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
4039, 16remulcld 11260 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
4140recnd 11258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4241, 31addcomd 11432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด)))
43 1cnd 11225 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4443, 29, 32subdird 11687 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)))
4532mullidd 11248 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4645oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)) = (๐ด โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)))
4744, 46eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) = (๐ด โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด)))
4847oveq2d 7430 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐ด โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด))))
4942, 48eqtrd 2767 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) = ((๐‘‡ ยท ๐ต) + (๐ด โˆ’ (๐‘‡ ยท ๐ด))))
5034, 36, 493eqtr4d 2777 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)))
5132addlidd 11431 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)
5230, 32npcand 11591 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด) = ๐ต)
5351, 52oveq12d 7432 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((0 + ๐ด)[,]((๐ต โˆ’ ๐ด) + ๐ด)) = (๐ด[,]๐ต))
5428, 50, 533eltr3d 2842 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ต)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  โ„+crp 12992  [,]cicc 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-rp 12993  df-icc 13349
This theorem is referenced by:  iccf1o  13491  icccvx  24849  efcvx  26360  logccv  26571  cvxcl  26891
  Copyright terms: Public domain W3C validator