Theorem ordtresticc 23596

Description: The restriction of the less than order to a closed interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtresticc	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))

Proof of Theorem ordtresticc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13601	. 2 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2		iccss2 13588	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	ordtrestixx 23595	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∩ cin 4092   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519   ↾_t crest 17641  ordTopcordt 17721

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-ordt 17723  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319

This theorem is used by:  dfii5  25261  iccpnfhmeo  25321  xrhmeo  25322  icccldii  50364