Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitssxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitssxrge0 31029
Description: The closed unit interval is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitssxrge0 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Proof of Theorem unitssxrge0
StepHypRef Expression
1 0e0iccpnf 12837 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
2 1xr 10689 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 0le1 11152 . . 3 0 ≤ 1
4 pnfge 12515 . . . 4 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
52, 4ax-mp 5 . . 3 1 ≤ +∞
6 0xr 10677 . . . 4 0 ∈ ℝ*
7 pnfxr 10684 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
8 elicc1 12772 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
96, 7, 8mp2an 688 . . 3 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
102, 3, 5, 9mpbir3an 1335 . 2 1 ∈ (0[,]+∞)
11 iccss2 12797 . 2 ((0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 1 ∈ (0[,]+∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞))
121, 10, 11mp2an 688 1 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  w3a 1081  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  *cxr 10663  cle 10665  [,]cicc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-icc 12735
This theorem is referenced by:  probun  31563
  Copyright terms: Public domain W3C validator