Theorem unitssxrge0 34466

Description: The closed unit interval is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitssxrge0	⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Proof of Theorem unitssxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0iccpnf 13560	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
2		1xr 11340	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		0le1 11809	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
4		pnfge 13229	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ≤ +∞
6		0xr 11328	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pnfxr 11335	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		elicc1 13490	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
11		iccss2 13518	. 2 ⊢ ((0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 1 ∈ (0[,]+∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞))
12	1, 10, 11	mp2an 705	1 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  0cc0 11172  1c1 11173  +∞cpnf 11312  ℝ^*cxr 11314   ≤ cle 11316  [,]cicc 13449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-icc 13453

This theorem is used by:  probun  34986