Theorem unitssxrge0 33848

Description: The closed unit interval is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitssxrge0	⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Proof of Theorem unitssxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0iccpnf 13521	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
2		1xr 11351	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		0le1 11815	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
4		pnfge 13195	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ≤ +∞
6		0xr 11339	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pnfxr 11346	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		elicc1 13453	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
11		iccss2 13480	. 2 ⊢ ((0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 1 ∈ (0[,]+∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞))
12	1, 10, 11	mp2an 691	1 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  +∞cpnf 11323  ℝ^*cxr 11325   ≤ cle 11327  [,]cicc 13412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-icc 13416

This theorem is referenced by:  probun  34386