Theorem unitssxrge0 33838

Description: The closed unit interval is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitssxrge0	⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Proof of Theorem unitssxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0iccpnf 13515	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
2		1xr 11345	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		0le1 11809	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
4		pnfge 13189	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ≤ +∞
6		0xr 11333	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pnfxr 11340	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		elicc1 13447	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
11		iccss2 13474	. 2 ⊢ ((0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 1 ∈ (0[,]+∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞))
12	1, 10, 11	mp2an 691	1 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3970   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181  +∞cpnf 11317  ℝ^*cxr 11319   ≤ cle 11321  [,]cicc 13406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-icc 13410

This theorem is referenced by:  probun  34376