MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvgt0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvgt0lem1 25953
Description: Lemma for dvgt0 25955 and dvlt0 25956. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvgt0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
dvgt0lem1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem dvgt0lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13439 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ*
2 simplrl 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
31, 2sselid 3970 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
4 simplrr 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
51, 4sselid 3970 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
6 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 iccssre 13438 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
96, 7, 8syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1110, 2sseldd 3973 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1210, 4sseldd 3973 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
13 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
1411, 12, 13ltled 11392 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
15 ubicc2 13474 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
163, 5, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
1716fvresd 6912 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
18 lbicc2 13473 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
193, 5, 14, 18syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
2019fvresd 6912 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
2117, 20oveq12d 7434 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)))
2221oveq1d 7431 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
23 iccss2 13427 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
2423ad2antlr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
25 dvgt0.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2625ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
27 rescncf 24835 . . . . 5 ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ)))
2824, 26, 27sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
29 dvgt0lem.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
3029ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
316ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3231rexrd 11294 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
337ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
34 elicc2 13421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
3531, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
362, 35mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
3736simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
38 iooss1 13391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
3932, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
4033rexrd 11294 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
41 elicc2 13421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
4231, 33, 41syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
434, 42mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
4443simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
45 iooss2 13392 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4640, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4739, 46sstrd 3983 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4830, 47fssresd 6759 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
49 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
51 cncff 24831 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
54 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
5553, 49, 54sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
56 iccssre 13438 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
5711, 12, 56syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
58 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5958tgioo2 24737 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6058, 59dvres 25858 . . . . . . . . 9 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
6150, 55, 10, 57, 60syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
62 iccntr 24755 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6311, 12, 62syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6463reseq2d 5979 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6561, 64eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6665feq1d 6702 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘† ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†))
6748, 66mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
6867fdmd 6728 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = (𝑋(,)π‘Œ))
6911, 12, 13, 28, 68mvth 25943 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
7067ffvelcdmda 7089 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
71 eleq1 2813 . . . . 5 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7270, 71syl5ibcom 244 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7372rexlimdva 3145 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7469, 73mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
7522, 74eqeltrrd 2826 1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  β„‚fldccnfld 21283  intcnt 22939  β€“cnβ†’ccncf 24814   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  dvgt0  25955  dvlt0  25956  dvge0  25957
  Copyright terms: Public domain W3C validator