Theorem dvgt0lem1 26283

Description: Lemma for dvgt0 26285 and dvlt0 26286. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvgt0lem1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dvgt0lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ*)
4		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5	1, 4	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
6		dvgt0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		dvgt0.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		iccssre 13529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10, 2	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
12	10, 4	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
13		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
14	11, 12, 13	ltled 11429	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
15		ubicc2 13565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16	3, 5, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	16	fvresd 6893	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
18		lbicc2 13564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19	3, 5, 14, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
20	19	fvresd 6893	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
21	17, 20	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
22	21	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
23		iccss2 13517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
25		dvgt0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	25	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		rescncf 25179	. . . . 5 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
28	24, 26, 27	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
29		dvgt0lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
31	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	rexrd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
34		elicc2 13511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
35	31, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
36	2, 35	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
37	36	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
38		iooss1 13480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
39	32, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
40	33	rexrd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		elicc2 13511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
42	31, 33, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
43	4, 42	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝐵)
45		iooss2 13481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
46	40, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	39, 46	sstrd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	30, 47	fssresd 6737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
49		ax-resscn 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ℝ ⊆ ℂ)
51		cncff 25175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
52	25, 51	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54		fss 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
56		iccssre 13529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
57	11, 12, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
59		tgioo4 25085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60	58, 59	dvres 26192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
61	50, 55, 10, 57, 60	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
62		iccntr 25102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
63	11, 12, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
64	63	reseq2d 5966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
65	61, 64	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
66	65	feq1d 6679	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆 ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆))
67	48, 66	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
68	67	fdmd 6708	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = (𝑋(,)𝑌))
69	11, 12, 13, 28, 68	mvth 26273	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
70	67	ffvelcdmda 7072	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆)
71		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
72	70, 71	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
73	72	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
74	69, 73	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)
75	22, 74	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  ℝ^*cxr 11313   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512   / cdiv 11942  (,)cioo 13445  [,]cicc 13448  TopOpenctopn 17553  topGenctg 17569  ℂ_fldccnfld 21639  intcnt 23296  –cn→ccncf 25158   D cdv 26144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-cmp 23666  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148

This theorem is used by:  dvgt0  26285  dvlt0  26286  dvge0  26287