MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvgt0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvgt0lem1 24070
Description: Lemma for dvgt0 24072 and dvlt0 24073. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvgt0lem1 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dvgt0lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12463 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2 simplrl 795 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
31, 2sseldi 3761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ*)
4 simplrr 796 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
51, 4sseldi 3761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
6 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 iccssre 12462 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
96, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
109ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1110, 2sseldd 3764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
1210, 4sseldd 3764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
13 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
1411, 12, 13ltled 10443 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
15 ubicc2 12498 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
163, 5, 14, 15syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17 fvres 6398 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
19 lbicc2 12497 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
203, 5, 14, 19syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
21 fvres 6398 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋) = (𝐹𝑋))
2220, 21syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋) = (𝐹𝑋))
2318, 22oveq12d 6864 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
2423oveq1d 6861 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
25 iccss2 12451 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2625ad2antlr 718 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
27 dvgt0.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2827ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
29 rescncf 22993 . . . . 5 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
3026, 28, 29sylc 65 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
31 dvgt0lem.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
3231ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
336ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433rexrd 10347 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ*)
357ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 elicc2 12445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
3733, 35, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
382, 37mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
3938simp2d 1173 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴𝑋)
40 iooss1 12417 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
4134, 39, 40syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
4235rexrd 10347 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43 elicc2 12445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
4433, 35, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
454, 44mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
4645simp3d 1174 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌𝐵)
47 iooss2 12418 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4842, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4941, 48sstrd 3773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
5032, 49fssresd 6255 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
51 ax-resscn 10250 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ℝ ⊆ ℂ)
53 cncff 22989 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5427, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5554ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
56 fss 6238 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
5755, 51, 56sylancl 580 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
58 iccssre 12462 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5911, 12, 58syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
60 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6160tgioo2 22899 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6260, 61dvres 23980 . . . . . . . . 9 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
6352, 57, 10, 59, 62syl22anc 867 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
64 iccntr 22917 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6511, 12, 64syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6665reseq2d 5567 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
6763, 66eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
6867feq1d 6210 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆 ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆))
6950, 68mpbird 248 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
7069fdmd 6234 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = (𝑋(,)𝑌))
7111, 12, 13, 30, 70mvth 24060 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)))
7269ffvelrnda 6553 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆)
73 eleq1 2832 . . . . 5 (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆))
7472, 73syl5ibcom 236 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆))
7574rexlimdva 3178 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆))
7671, 75mpd 15 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆)
7724, 76eqeltrrd 2845 1 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  (,)cioo 12382  [,]cicc 12385  TopOpenctopn 16362  topGenctg 16378  fldccnfld 20033  intcnt 21115  cnccncf 22972   D cdv 23932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936
This theorem is referenced by:  dvgt0  24072  dvlt0  24073  dvge0  24074
  Copyright terms: Public domain W3C validator