Theorem dvgt0lem1 25905

Description: Lemma for dvgt0 25907 and dvlt0 25908. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvgt0lem1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dvgt0lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13333	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ*)
4		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5	1, 4	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
6		dvgt0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		dvgt0.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		iccssre 13332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10, 2	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
12	10, 4	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
14	11, 12, 13	ltled 11264	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
15		ubicc2 13368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16	3, 5, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	16	fvresd 6842	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
18		lbicc2 13367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19	3, 5, 14, 18	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
20	19	fvresd 6842	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
21	17, 20	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
22	21	oveq1d 7364	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
23		iccss2 13320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
25		dvgt0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		rescncf 24788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
28	24, 26, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
29		dvgt0lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	rexrd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
34		elicc2 13314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
36	2, 35	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
37	36	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
38		iooss1 13283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
39	32, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
40	33	rexrd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		elicc2 13314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
42	31, 33, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
43	4, 42	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝐵)
45		iooss2 13284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
46	40, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	39, 46	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	30, 47	fssresd 6691	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
49		ax-resscn 11066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ℝ ⊆ ℂ)
51		cncff 24784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
52	25, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54		fss 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
56		iccssre 13332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
57	11, 12, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
59		tgioo4 24691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60	58, 59	dvres 25810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
61	50, 55, 10, 57, 60	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
62		iccntr 24708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
63	11, 12, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
64	63	reseq2d 5930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
65	61, 64	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
66	65	feq1d 6634	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆 ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆))
67	48, 66	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
68	67	fdmd 6662	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = (𝑋(,)𝑌))
69	11, 12, 13, 28, 68	mvth 25895	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
70	67	ffvelcdmda 7018	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆)
71		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
72	70, 71	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
73	72	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
74	69, 73	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)
75	22, 74	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  (,)cioo 13248  [,]cicc 13251  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  ℂ_fldccnfld 21261  intcnt 22902  –cn→ccncf 24767   D cdv 25762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

This theorem is referenced by:  dvgt0  25907  dvlt0  25908  dvge0  25909