MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvgt0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvgt0lem1 25890
Description: Lemma for dvgt0 25892 and dvlt0 25893. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvgt0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
dvgt0lem1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem dvgt0lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13413 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ*
2 simplrl 774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
31, 2sselid 3975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
4 simplrr 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
51, 4sselid 3975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
6 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 iccssre 13412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
96, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
109ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1110, 2sseldd 3978 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1210, 4sseldd 3978 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
1411, 12, 13ltled 11366 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
15 ubicc2 13448 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
163, 5, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
1716fvresd 6905 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
18 lbicc2 13447 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
193, 5, 14, 18syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
2019fvresd 6905 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
2117, 20oveq12d 7423 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)))
2221oveq1d 7420 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
23 iccss2 13401 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
2423ad2antlr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
25 dvgt0.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2625ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
27 rescncf 24772 . . . . 5 ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ)))
2824, 26, 27sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
29 dvgt0lem.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
3029ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
316ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3231rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
337ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
34 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
3531, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
362, 35mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
3736simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
38 iooss1 13365 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
3932, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
4033rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
41 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
4231, 33, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
434, 42mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
4443simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
45 iooss2 13366 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4640, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4739, 46sstrd 3987 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4830, 47fssresd 6752 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
49 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
51 cncff 24768 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5352ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
54 fss 6728 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
5553, 49, 54sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
56 iccssre 13412 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
5711, 12, 56syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
58 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5958tgioo2 24674 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6058, 59dvres 25795 . . . . . . . . 9 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
6150, 55, 10, 57, 60syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
62 iccntr 24692 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6311, 12, 62syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6463reseq2d 5975 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6561, 64eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6665feq1d 6696 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘† ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†))
6748, 66mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
6867fdmd 6722 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = (𝑋(,)π‘Œ))
6911, 12, 13, 28, 68mvth 25880 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
7067ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
71 eleq1 2815 . . . . 5 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7270, 71syl5ibcom 244 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7372rexlimdva 3149 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7469, 73mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
7522, 74eqeltrrd 2828 1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  intcnt 22876  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvgt0  25892  dvlt0  25893  dvge0  25894
  Copyright terms: Public domain W3C validator