Theorem dvgt0lem1 25914

Description: Lemma for dvgt0 25916 and dvlt0 25917. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvgt0lem1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dvgt0lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ*)
4		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5	1, 4	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
6		dvgt0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		dvgt0.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		iccssre 13397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10, 2	sseldd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
12	10, 4	sseldd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
14	11, 12, 13	ltled 11329	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
15		ubicc2 13433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16	3, 5, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	16	fvresd 6881	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
18		lbicc2 13432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19	3, 5, 14, 18	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
20	19	fvresd 6881	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
21	17, 20	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
22	21	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
23		iccss2 13385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
25		dvgt0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		rescncf 24797	. . . . 5 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
28	24, 26, 27	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
29		dvgt0lem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶𝑆)
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
34		elicc2 13379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
36	2, 35	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
37	36	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
38		iooss1 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
39	32, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
40	33	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		elicc2 13379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
42	31, 33, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
43	4, 42	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ≤ 𝐵)
45		iooss2 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
46	40, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	39, 46	sstrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	30, 47	fssresd 6730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
49		ax-resscn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ℝ ⊆ ℂ)
51		cncff 24793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
52	25, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54		fss 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
56		iccssre 13397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
57	11, 12, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
58		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
59		tgioo4 24700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60	58, 59	dvres 25819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
61	50, 55, 10, 57, 60	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))))
62		iccntr 24717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
63	11, 12, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
64	63	reseq2d 5953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
65	61, 64	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)))
66	65	feq1d 6673	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆 ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)𝑌)):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆))
67	48, 66	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))):(𝑋(,)𝑌)⟶𝑆)
68	67	fdmd 6701	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))) = (𝑋(,)𝑌))
69	11, 12, 13, 28, 68	mvth 25904	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
70	67	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆)
71		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
72	70, 71	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
73	72	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌)))‘𝑧) = ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆))
74	69, 73	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ (𝑋[,]𝑌))‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)
75	22, 74	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ran crn 5642   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  (,)cioo 13313  [,]cicc 13316  TopOpenctopn 17391  topGenctg 17407  ℂ_fldccnfld 21271  intcnt 22911  –cn→ccncf 24776   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  dvgt0  25916  dvlt0  25917  dvge0  25918