MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvgt0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvgt0lem1 25510
Description: Lemma for dvgt0 25512 and dvlt0 25513. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvgt0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvgt0lem.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
dvgt0lem1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem dvgt0lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13403 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ*
2 simplrl 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
31, 2sselid 3979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
4 simplrr 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
51, 4sselid 3979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
6 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 iccssre 13402 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1110, 2sseldd 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1210, 4sseldd 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
13 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
1411, 12, 13ltled 11358 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
15 ubicc2 13438 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
163, 5, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
1716fvresd 6908 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
18 lbicc2 13437 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
193, 5, 14, 18syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
2019fvresd 6908 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
2117, 20oveq12d 7423 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)))
2221oveq1d 7420 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
23 iccss2 13391 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
2423ad2antlr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
25 dvgt0.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2625ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
27 rescncf 24404 . . . . 5 ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ)))
2824, 26, 27sylc 65 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
29 dvgt0lem.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
3029ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆπ‘†)
316ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3231rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
337ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
34 elicc2 13385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
3531, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
362, 35mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
3736simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
38 iooss1 13355 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
3932, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
4033rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
41 elicc2 13385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
4231, 33, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
434, 42mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
4443simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
45 iooss2 13356 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4640, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4739, 46sstrd 3991 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4830, 47fssresd 6755 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
49 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
51 cncff 24400 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
54 fss 6731 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
5553, 49, 54sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
56 iccssre 13402 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
5711, 12, 56syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
58 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5958tgioo2 24310 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6058, 59dvres 25419 . . . . . . . . 9 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
6150, 55, 10, 57, 60syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))))
62 iccntr 24328 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6311, 12, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
6463reseq2d 5979 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6561, 64eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)))
6665feq1d 6699 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘† ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†))
6748, 66mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆπ‘†)
6867fdmd 6725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))) = (𝑋(,)π‘Œ))
6911, 12, 13, 28, 68mvth 25500 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
7067ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
71 eleq1 2821 . . . . 5 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7270, 71syl5ibcom 244 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7372rexlimdva 3155 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)))β€˜π‘§) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆))
7469, 73mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ))β€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
7522, 74eqeltrrd 2834 1 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936  intcnt 22512  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  dvgt0  25512  dvlt0  25513  dvge0  25514
  Copyright terms: Public domain W3C validator