MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2ditglem 25425
Description: Lemma for ftc2ditg 25426. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
ftc2ditg.i (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐹   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ

Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
21ditgpos 25236 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 iccssre 13353 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
86, 7sseldd 3950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
116, 10sseldd 3950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 11115 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24272 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
196adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
20 iccssre 13353 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
218, 11, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24182 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2523, 24dvres 25291 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
27 iccntr 24200 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
288, 11, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
3029reseq2d 5942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
3126, 30eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
323rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
343, 4, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
357, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ))
3635simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐴)
37 iooss1 13306 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
3832, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
394rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
40 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
413, 4, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
4210, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ))
4342simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ π‘Œ)
44 iooss2 13307 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4539, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4638, 45sstrd 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4746adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
4948adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
50 rescncf 24276 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
5147, 49, 50sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
5231, 51eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
53 cncff 24272 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5554feqmptd 6915 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5655adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5756reseq1d 5941 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
5847resmptd 5999 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5957, 58eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
6031, 59eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
61 ioombl 24945 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
63 fvexd 6862 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) ∈ V)
64 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6564adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6656, 65eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6747, 62, 63, 66iblss 25185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6860, 67eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ 𝐿1)
69 iccss2 13342 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
707, 10, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
71 rescncf 24276 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
7270, 15, 71sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7372adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
749, 12, 1, 52, 68, 73ftc2 25424 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)))
7531fveq1d 6849 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘))
76 fvres 6866 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7775, 76sylan9eq 2797 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7877itgeq2dv 25162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
799rexrd 11212 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8012rexrd 11212 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
81 ubicc2 13389 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 lbicc2 13388 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
83 fvres 6866 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))
84 fvres 6866 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
8583, 84oveqan12d 7381 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8681, 82, 85syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8779, 80, 1, 86syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8874, 78, 873eqtr3d 2785 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
892, 88eqtrd 2777 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998  β¨œcdit 25226   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  ftc2ditg  25426
  Copyright terms: Public domain W3C validator