MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ftc2ditglem 25797
Description: Lemma for ftc2ditg 25798. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
ftc2ditg.i (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐹   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ
Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
21ditgpos 25605 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 iccssre 13410 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
86, 7sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
116, 10sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1211adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24633 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
196adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
20 iccssre 13410 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
218, 11, 20syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2221adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
23 eqid 2730 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24539 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2523, 24dvres 25660 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
27 iccntr 24557 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
288, 11, 27syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
3029reseq2d 5980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
3126, 30eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
323rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
343, 4, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
357, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ))
3635simp2d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐴)
37 iooss1 13363 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
3832, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
394rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
40 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
413, 4, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
4210, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ))
4342simp3d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ π‘Œ)
44 iooss2 13364 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4539, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4638, 45sstrd 3991 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4746adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
4948adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
50 rescncf 24637 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
5147, 49, 50sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
5231, 51eqeltrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
53 cncff 24633 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5554feqmptd 6959 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5655adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5756reseq1d 5979 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
5847resmptd 6039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5957, 58eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
6031, 59eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
61 ioombl 25314 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
63 fvexd 6905 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) ∈ V)
64 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6564adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6656, 65eqeltrrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6747, 62, 63, 66iblss 25554 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6860, 67eqeltrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ 𝐿1)
69 iccss2 13399 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
707, 10, 69syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
71 rescncf 24637 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
7270, 15, 71sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7372adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
749, 12, 1, 52, 68, 73ftc2 25796 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)))
7531fveq1d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘))
76 fvres 6909 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7775, 76sylan9eq 2790 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7877itgeq2dv 25531 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
799rexrd 11268 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8012rexrd 11268 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
81 ubicc2 13446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 lbicc2 13445 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
83 fvres 6909 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))
84 fvres 6909 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
8583, 84oveqan12d 7430 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8681, 82, 85syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8779, 80, 1, 86syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8874, 78, 873eqtr3d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
892, 88eqtrd 2770 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741  β€“cnβ†’ccncf 24616  volcvol 25212  πΏ1cibl 25366  βˆ«citg 25367  β¨œcdit 25595   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-ditg 25596  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  ftc2ditg  25798
  Copyright terms: Public domain W3C validator