MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ftc2ditglem 25562
Description: Lemma for ftc2ditg 25563. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
ftc2ditg.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
ftc2ditg.i (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐹   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ
Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
21ditgpos 25373 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 iccssre 13406 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
86, 7sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
116, 10sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24409 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
196adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
20 iccssre 13406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
218, 11, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
23 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423tgioo2 24319 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2523, 24dvres 25428 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
27 iccntr 24337 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
288, 11, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
3029reseq2d 5982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
3126, 30eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
323rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
343, 4, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ)))
357, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ))
3635simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐴)
37 iooss1 13359 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
3832, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)𝐡))
394rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
40 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
413, 4, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ)))
4210, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ))
4342simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ π‘Œ)
44 iooss2 13360 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4539, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4638, 45sstrd 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
4746adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
4948adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
50 rescncf 24413 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
5147, 49, 50sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
5231, 51eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
53 cncff 24409 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
5554feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5655adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5756reseq1d 5981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
5847resmptd 6041 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
5957, 58eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
6031, 59eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
61 ioombl 25082 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
63 fvexd 6907 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) ∈ V)
64 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6564adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6656, 65eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6747, 62, 63, 66iblss 25322 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6860, 67eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) ∈ 𝐿1)
69 iccss2 13395 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
707, 10, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
71 rescncf 24413 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
7270, 15, 71sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7372adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
749, 12, 1, 52, 68, 73ftc2 25561 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)))
7531fveq1d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘))
76 fvres 6911 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7775, 76sylan9eq 2793 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
7877itgeq2dv 25299 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
799rexrd 11264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8012rexrd 11264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
81 ubicc2 13442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 lbicc2 13441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
83 fvres 6911 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))
84 fvres 6911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
8583, 84oveqan12d 7428 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8681, 82, 85syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8779, 80, 1, 86syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
8874, 78, 873eqtr3d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
892, 88eqtrd 2773 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392  volcvol 24980  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135  β¨œcdit 25363   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-ditg 25364  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  ftc2ditg  25563
  Copyright terms: Public domain W3C validator