Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coprmdvds2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds2d 41980
Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
coprmdvds2d.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.4 (𝜑 → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
coprmdvds2d.5 (𝜑𝐾𝑁)
coprmdvds2d.6 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds2d (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem coprmdvds2d
StepHypRef Expression
1 coprmdvds2d.5 . 2 (𝜑𝐾𝑁)
2 coprmdvds2d.6 . 2 (𝜑𝑀𝑁)
3 coprmdvds2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
4 coprmdvds2d.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 coprmdvds2d.3 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 4, 53jca 1129 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 coprmdvds2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
86, 7jca 511 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1))
9 coprmdvds2 16687 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾𝑁𝑀𝑁) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐾𝑁𝑀𝑁) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
111, 2, 10mp2and 699 1 (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5141  (class class class)co 7429  1c1 11152   · cmul 11156  cz 12609  cdvds 16286   gcd cgcd 16527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528
This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  42021  aks4d1p8d1  42063  aks4d1p8d2  42064  aks4d1p8  42066
  Copyright terms: Public domain W3C validator