Theorem coprmdvds2d 41396

Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
coprmdvds2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
coprmdvds2d.4	⊢ (𝜑 → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
coprmdvds2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
coprmdvds2d.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem coprmdvds2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprmdvds2d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
2		coprmdvds2d.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
3		coprmdvds2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		coprmdvds2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		coprmdvds2d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		coprmdvds2d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
8	6, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1))
9		coprmdvds2 16610	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
11	1, 2, 10	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  1c1 11125   · cmul 11129  ℤcz 12574   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455

This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  41437  aks4d1p8d1  41479  aks4d1p8d2  41480  aks4d1p8  41482