Theorem iocmbl 43920

Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocmbl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iocmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		ioounsn 13505	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
4		ioombl 25705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5		iccid 13418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
7		iccmbl 25706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
8	7	anidms 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
9	6, 8	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐵} ∈ dom vol)
11		unmbl 25677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
12	4, 10, 11	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
14	3, 13	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
15	14	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
16		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xrlenlt 11275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
18	1, 16, 17	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
19	18	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
20		ioc0 13420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	20	biimp3ar 1499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
22	1, 21	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
23		0mbl 25679	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
24	22, 23	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
25	19, 24	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
26	25	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
27	15, 26	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13373  (,]cioc 13374  [,]cicc 13376  volcvol 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-xmet 21496  df-met 21497  df-ovol 25604  df-vol 25605

This theorem is referenced by: (None)