Theorem iocmbl 39826

Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocmbl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iocmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		ioounsn 12866	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
4		ioombl 24168	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5		iccid 12786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
7		iccmbl 24169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
8	7	anidms 569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
9	6, 8	eqeltrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
10	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐵} ∈ dom vol)
11		unmbl 24140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
12	4, 10, 11	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
13	12	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
14	3, 13	eqeltrrd 2916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
15	14	3expa 1114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xrlenlt 10708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
18	1, 16, 17	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
19	18	biimp3ar 1466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
20		ioc0 12788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	20	biimp3ar 1466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
22	1, 21	syl3an2 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
23		0mbl 24142	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
24	22, 23	eqeltrdi 2923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
25	19, 24	syld3an3 1405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
26	25	3expa 1114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
27	15, 26	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3936  ∅c0 4293  {csn 4569   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742  [,]cicc 12744  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-xmet 20540  df-met 20541  df-ovol 24067  df-vol 24068

This theorem is referenced by: (None)