Theorem iocmbl 43981

Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocmbl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iocmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11273	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		ioounsn 13522	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
4		ioombl 25761	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5		iccid 13435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
7		iccmbl 25762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
8	7	anidms 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
9	6, 8	eqeltrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐵} ∈ dom vol)
11		unmbl 25733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
12	4, 10, 11	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
14	3, 13	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
15	14	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
16		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xrlenlt 11292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
18	1, 16, 17	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
19	18	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
20		ioc0 13437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	20	biimp3ar 1499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
22	1, 21	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
23		0mbl 25735	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
24	22, 23	eqeltrdi 2874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
25	19, 24	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
26	25	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
27	15, 26	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  (,)cioo 13390  (,]cioc 13391  [,]cicc 13393  volcvol 25659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-xmet 21552  df-met 21553  df-ovol 25660  df-vol 25661

This theorem is used by: (None)