Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmbl 41590
Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocmbl ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iocmbl
StepHypRef Expression
1 rexr 11206 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 ioounsn 13400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
31, 2syl3an2 1165 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
4 ioombl 24945 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5 iccid 13315 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
7 iccmbl 24946 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
87anidms 568 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,]𝐵) ∈ dom vol)
96, 8eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
109adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → {𝐵} ∈ dom vol)
11 unmbl 24917 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
124, 10, 11sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
13123adant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ dom vol)
143, 13eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
15143expa 1119 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
17 xrlenlt 11225 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
181, 16, 17syl2anr 598 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1918biimp3ar 1471 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
20 ioc0 13317 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
2120biimp3ar 1471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
221, 21syl3an2 1165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
23 0mbl 24919 . . . . 5 ∅ ∈ dom vol
2422, 23eqeltrdi 2842 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
2519, 24syld3an3 1410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
26253expa 1119 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
2715, 26pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  (class class class)co 7358  cr 11055  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  (,)cioo 13270  (,]cioc 13271  [,]cicc 13273  volcvol 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator