Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem33 45761
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem33.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem33.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem33.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem33.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem33.6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem33.7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem33.8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem33.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem33.y 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
fourierdlem33.10 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 fourierdlem33.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
4 iftrue 4539 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = 𝐿)
53, 4eqtr2id 2779 . . . 4 (𝐷 = 𝐵𝐿 = 𝑌)
65adantl 480 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 = 𝑌)
7 oveq2 7432 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
87adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 24904 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 13440 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 fourierdlem33.10 . . . . 5 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2119leidd 11830 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322rexrd 11314 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
24 elioc2 13441 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2523, 19, 24syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
28 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
2928biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
3029adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐷)
3117cnfldtop 24791 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3534rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
37 ioounsn 13508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
39 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,]𝐵) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
4138, 40eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
42 resttop 23155 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4331, 41, 42sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4418, 43eqeltrid 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4544adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
46 oveq2 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4746adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4823adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
51 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
5234adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 elioc2 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5448, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵))
5655simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
5856ltpnfd 13155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
5948, 50, 56, 57, 58eliood 45116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
6032adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6122adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 45738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
6362simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐶)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
6655simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
6733adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 elioc2 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
6967, 52, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7159, 70elind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
72 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
73 elioore 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7623adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
7872adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
79 ioogtlb 45113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
8076, 77, 78, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
81 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8281adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8333adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8434adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8583, 84, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
8682, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
8786simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
8876, 84, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
9071, 89impbida 799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))))
9190eqrdv 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
92 retop 24769 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
94 iooretop 24773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
96 elrestr 17443 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9793, 40, 95, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9891, 97eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9998adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10047, 99eqeltrd 2826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
10238oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
104 iocssre 13458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10533, 34, 104syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
106 reex 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
108 restabs 23160 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
109103, 105, 107, 108syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11017tgioo2 24810 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
111110eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
112111oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵))
113109, 112eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
114101, 102, 1133eqtrrd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
115114adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
116100, 115eleqtrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽)
117 isopn3i 23077 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11845, 116, 117syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11927, 30, 1183eltr4d 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)))
120 sneq 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → {𝐷} = {𝐵})
121120eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵} = {𝐷})
122121uneq2d 4163 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
123122adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
12419rexrd 11314 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
125 ioounsn 13508 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
12623, 124, 20, 125syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
127126adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
128123, 127eqtr2d 2767 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}))
129128fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
130119, 129eleqtrd 2828 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 25906 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
1328, 131eqtr2d 2767 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
1332, 6, 1323eltr3d 2840 . 2 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
134 limcresi 25905 . . 3 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷)
135 iffalse 4542 . . . . . 6 𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = (𝐹𝐷))
1363, 135eqtrid 2778 . . . . 5 𝐷 = 𝐵𝑌 = (𝐹𝐷))
137136adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 = (𝐹𝐷))
138 ssid 4002 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
140 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
141 unicntop 24793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
142141restid 17448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
144143eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
14517, 140, 144cncfcn 24921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14615, 139, 145sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1479, 146eleqtrd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14817cnfldtopon 24790 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
150 resttopon 23156 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
151148, 149, 150sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
153 cncnp 23275 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
154151, 152, 153syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
155147, 154mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
156155simprd 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
157156adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
15833adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15935adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16019adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 11422 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐷)
162161adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐷)
16334adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16462simprd 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐵)
165164adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷𝐵)
166 neqne 2938 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = 𝐵𝐷𝐵)
167166necomd 2986 . . . . . . . . . 10 𝐷 = 𝐵𝐵𝐷)
168167adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
169160, 163, 165, 168leneltd 11418 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
170158, 159, 160, 162, 169eliood 45116 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
171 fveq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐷 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
172171eleq2d 2812 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐷 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷)))
173172rspccva 3607 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
174157, 170, 173syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
17517, 140cnplimc 25907 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
17615, 170, 175sylancr 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
177174, 176mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷)))
178177simprd 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))
179137, 178eqeltrd 2826 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
180134, 179sselid 3977 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
181133, 180pm2.61dan 811 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3462  cun 3945  cin 3946  wss 3947  ifcif 4533  {csn 4633   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  +∞cpnf 11295  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  fldccnfld 21343  Topctop 22886  TopOnctopon 22903  intcnt 23012   Cn ccn 23219   CnP ccnp 23220  cnccncf 24887   lim climc 25882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-icc 13385  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-rest 17437  df-topn 17438  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-xms 24317  df-ms 24318  df-cncf 24889  df-limc 25886
This theorem is referenced by:  fourierdlem49  45776  fourierdlem76  45803  fourierdlem91  45818
  Copyright terms: Public domain W3C validator