Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem33 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem33 45156
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem33.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem33.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem33.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
fourierdlem33.5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem33.6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem33.7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem33.8 (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝐷)
fourierdlem33.ss (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem33.y π‘Œ = if(𝐷 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π·))
fourierdlem33.10 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷))
Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3 fourierdlem33.y . . . . 5 π‘Œ = if(𝐷 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π·))
4 iftrue 4535 . . . . 5 (𝐷 = 𝐡 β†’ if(𝐷 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π·)) = 𝐿)
53, 4eqtr2id 2784 . . . 4 (𝐷 = 𝐡 β†’ 𝐿 = π‘Œ)
65adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐿 = π‘Œ)
7 oveq2 7420 . . . . 5 (𝐷 = 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷) = ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
87adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷) = ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10 cncff 24634 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
1413adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
15 ioosscn 13391 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
1615a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
17 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 fourierdlem33.10 . . . . 5 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}))
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝐷)
2119leidd 11785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝐷)
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2322rexrd 11269 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
24 elioc2 13392 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (𝐷 ∈ (𝐢(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≀ 𝐷)))
2523, 19, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (𝐢(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≀ 𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1341 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,]𝐷))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,]𝐷))
28 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐡 ↔ 𝐡 = 𝐷)
2928biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐡 β†’ 𝐡 = 𝐷)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 = 𝐷)
3117cnfldtop 24521 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3332rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3534rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
37 ioounsn 13459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
39 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,]𝐡) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) ∈ V)
4138, 40eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
42 resttop 22885 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
4331, 41, 42sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
4418, 43eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ Top)
46 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐡 β†’ (𝐢(,]𝐷) = (𝐢(,]𝐡))
4746adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,]𝐷) = (𝐢(,]𝐡))
4823adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
5234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
53 elioc2 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐢 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
5448, 52, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐢 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐢 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
5655simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5755simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
5856ltpnfd 13106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ < +∞)
5948, 50, 56, 57, 58eliood 44511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
6032adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 45133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ 𝐢 ∧ 𝐷 ≀ 𝐡))
6362simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
6655simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
6733adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
68 elioc2 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
6967, 52, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
7159, 70elind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
72 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
73 elioore 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7623adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
7872adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
79 ioogtlb 44508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
8076, 77, 78, 79syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 < π‘₯)
81 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
8333adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8434adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8583, 84, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
8682, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
8786simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
8876, 84, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐢 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
9071, 89impbida 798 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))))
9190eqrdv 2729 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) = ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
92 retop 24499 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
94 iooretop 24503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
96 elrestr 17379 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) ∈ V ∧ (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
9793, 40, 95, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
9891, 97eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
10047, 99eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,]𝐷) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
10238oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
10331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
104 iocssre 13409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
10533, 34, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
106 reex 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
108 restabs 22890 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
109103, 105, 107, 108syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
11017tgioo2 24540 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
111110eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,))
112111oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
113109, 112eqtr3di 2786 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
114101, 102, 1133eqtrrd 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽)
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽)
116100, 115eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,]𝐷) ∈ 𝐽)
117 isopn3i 22807 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐢(,]𝐷) ∈ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢(,]𝐷)) = (𝐢(,]𝐷))
11845, 116, 117syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢(,]𝐷)) = (𝐢(,]𝐷))
11927, 30, 1183eltr4d 2847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢(,]𝐷)))
120 sneq 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐡 β†’ {𝐷} = {𝐡})
121120eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐡 β†’ {𝐡} = {𝐷})
122121uneq2d 4164 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐡 β†’ ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐷}))
123122adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐷}))
12419rexrd 11269 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
125 ioounsn 13459 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 < 𝐷) β†’ ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐷}) = (𝐢(,]𝐷))
12623, 124, 20, 125syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐷}) = (𝐢(,]𝐷))
127126adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐷}) = (𝐢(,]𝐷))
128123, 127eqtr2d 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐢(,]𝐷) = ((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐡}))
129128fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢(,]𝐷)) = ((intβ€˜π½)β€˜((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐡})))
130119, 129eleqtrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜((𝐢(,)𝐷) βˆͺ {𝐡})))
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 25636 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1328, 131eqtr2d 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷))
1332, 6, 1323eltr3d 2846 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷))
134 limcresi 25635 . . 3 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷)
135 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 = 𝐡 β†’ if(𝐷 = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π·)) = (πΉβ€˜π·))
1363, 135eqtrid 2783 . . . . 5 (Β¬ 𝐷 = 𝐡 β†’ π‘Œ = (πΉβ€˜π·))
137136adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ π‘Œ = (πΉβ€˜π·))
138 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
140 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
141 unicntop 24523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
142141restid 17384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
144143eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
14517, 140, 144cncfcn 24651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
14615, 139, 145sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1479, 146eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
14817cnfldtopon 24520 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
150 resttopon 22886 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
151148, 149, 150sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
153 cncnp 23005 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
154151, 152, 153syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))))
155147, 154mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯)))
156155simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
157156adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯))
15833adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
15935adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
16019adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 11377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐷)
162161adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐷)
16334adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16462simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝐡)
165164adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐷 ≀ 𝐡)
166 neqne 2947 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝐷 = 𝐡 β†’ 𝐷 β‰  𝐡)
167166necomd 2995 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐷 = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
168167adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
169160, 163, 165, 168leneltd 11373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐷 < 𝐡)
170158, 159, 160, 162, 169eliood 44511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐡))
171 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐷 β†’ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) = ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·))
172171eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·)))
173172rspccva 3612 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·))
174157, 170, 173syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·))
17517, 140cnplimc 25637 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π·) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))))
17615, 170, 175sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π·) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))))
177174, 176mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π·) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷)))
178177simprd 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π·) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
179137, 178eqeltrd 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
180134, 179sselid 3981 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐷 = 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷))
181133, 180pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616  TopOnctopon 22633  intcnt 22742   Cn ccn 22949   CnP ccnp 22950  β€“cnβ†’ccncf 24617   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-cncf 24619  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem49  45171  fourierdlem76  45198  fourierdlem91  45213
  Copyright terms: Public domain W3C validator