Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem33 44629
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem33.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem33.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem33.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem33.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem33.6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem33.7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem33.8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem33.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem33.y 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
fourierdlem33.10 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 fourierdlem33.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
4 iftrue 4528 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = 𝐿)
53, 4eqtr2id 2784 . . . 4 (𝐷 = 𝐵𝐿 = 𝑌)
65adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 = 𝑌)
7 oveq2 7401 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
87adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 24338 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 13368 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 fourierdlem33.10 . . . . 5 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2119leidd 11762 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322rexrd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
24 elioc2 13369 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2523, 19, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1342 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
28 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
2928biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐷)
3117cnfldtop 24229 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332rexrd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3534rexrd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
37 ioounsn 13436 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
39 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,]𝐵) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
4138, 40eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
42 resttop 22593 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4331, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4418, 43eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
46 oveq2 7401 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4746adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4823adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
5234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 elioc2 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5448, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵))
5655simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
5856ltpnfd 13083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
5948, 50, 56, 57, 58eliood 43984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
6032adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 44606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
6362simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐶)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
6655simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
6733adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 elioc2 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
6967, 52, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7159, 70elind 4190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
72 elinel1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
73 elioore 13336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
7872adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
79 ioogtlb 43981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
8076, 77, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
81 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8333adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8434adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8583, 84, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
8682, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
8786simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
8876, 84, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
9071, 89impbida 799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))))
9190eqrdv 2729 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
92 retop 24207 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
94 iooretop 24211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
96 elrestr 17356 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9793, 40, 95, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9891, 97eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10047, 99eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
10238oveq2d 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
104 iocssre 13386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10533, 34, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
106 reex 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
108 restabs 22598 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
109103, 105, 107, 108syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11017tgioo2 24248 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
111110eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
112111oveq1i 7403 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵))
113109, 112eqtr3di 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
114101, 102, 1133eqtrrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
115114adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
116100, 115eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽)
117 isopn3i 22515 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11845, 116, 117syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11927, 30, 1183eltr4d 2847 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)))
120 sneq 4632 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → {𝐷} = {𝐵})
121120eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵} = {𝐷})
122121uneq2d 4159 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
123122adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
12419rexrd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
125 ioounsn 13436 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
12623, 124, 20, 125syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
127126adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
128123, 127eqtr2d 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}))
129128fveq2d 6882 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
130119, 129eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 25332 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
1328, 131eqtr2d 2772 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
1332, 6, 1323eltr3d 2846 . 2 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
134 limcresi 25331 . . 3 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷)
135 iffalse 4531 . . . . . 6 𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = (𝐹𝐷))
1363, 135eqtrid 2783 . . . . 5 𝐷 = 𝐵𝑌 = (𝐹𝐷))
137136adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 = (𝐹𝐷))
138 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
140 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
141 unicntop 24231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
142141restid 17361 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
144143eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
14517, 140, 144cncfcn 24355 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14615, 139, 145sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1479, 146eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14817cnfldtopon 24228 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
150 resttopon 22594 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
151148, 149, 150sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
153 cncnp 22713 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
154151, 152, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
155147, 154mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
156155simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
157156adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
15833adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15935adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 11354 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐷)
162161adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐷)
16334adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16462simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐵)
165164adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷𝐵)
166 neqne 2947 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = 𝐵𝐷𝐵)
167166necomd 2995 . . . . . . . . . 10 𝐷 = 𝐵𝐵𝐷)
168167adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
169160, 163, 165, 168leneltd 11350 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
170158, 159, 160, 162, 169eliood 43984 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
171 fveq2 6878 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐷 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
172171eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐷 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷)))
173172rspccva 3608 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
174157, 170, 173syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
17517, 140cnplimc 25333 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
17615, 170, 175sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
177174, 176mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷)))
178177simprd 496 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))
179137, 178eqeltrd 2832 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
180134, 179sselid 3976 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
181133, 180pm2.61dan 811 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  cun 3942  cin 3943  wss 3944  ifcif 4522  {csn 4622   class class class wbr 5141  ran crn 5670  cres 5671  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  +∞cpnf 11227  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  (,)cioo 13306  (,]cioc 13307  t crest 17348  TopOpenctopn 17349  topGenctg 17365  fldccnfld 20878  Topctop 22324  TopOnctopon 22341  intcnt 22450   Cn ccn 22657   CnP ccnp 22658  cnccncf 24321   lim climc 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-icc 13313  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-topn 17351  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-ntr 22453  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-xms 23755  df-ms 23756  df-cncf 24323  df-limc 25312
This theorem is referenced by:  fourierdlem49  44644  fourierdlem76  44671  fourierdlem91  44686
  Copyright terms: Public domain W3C validator