MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchinf 10681
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchdju1 10680 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21ensymd 9026 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
3 isfin4-2 10338 . . . 4 (𝐴 ∈ GCH → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
43adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
5 isfin4p1 10339 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6 sdomnen 9002 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
75, 6sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
84, 7syl6bir 254 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
92, 8mt4d 117 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5148  ωcom 7870  1oc1o 8480  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963  Fincfn 8964  cdju 9922  FinIVcfin4 10304  GCHcgch 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-fin4 10311  df-gch 10645
This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10692  gchxpidm  10693  gchina  10723
  Copyright terms: Public domain W3C validator