MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchinf 9766
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchcda1 9765 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
21ensymd 8245 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
3 isfin4-2 9423 . . . 4 (𝐴 ∈ GCH → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
43adantr 473 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
5 isfin4-3 9424 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
6 sdomnen 8223 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
75, 6sylbi 209 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
84, 7syl6bir 246 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜)))
92, 8mt4d 154 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157   class class class wbr 4842  (class class class)co 6877  ωcom 7298  1𝑜c1o 7791  cen 8191  cdom 8192  csdm 8193  Fincfn 8194   +𝑐 ccda 9276  FinIVcfin4 9389  GCHcgch 9729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-oi 8656  df-card 9050  df-cda 9277  df-fin4 9396  df-gch 9730
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9777  gchxpidm  9778  gchina  9808
  Copyright terms: Public domain W3C validator