MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchinf 10514
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchdju1 10513 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21ensymd 8866 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
3 isfin4-2 10171 . . . 4 (𝐴 ∈ GCH → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
43adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
5 isfin4p1 10172 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6 sdomnen 8842 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
75, 6sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
84, 7syl6bir 253 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
92, 8mt4d 117 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5092  ωcom 7780  1oc1o 8360  cen 8801  cdom 8802  csdm 8803  Fincfn 8804  cdju 9755  FinIVcfin4 10137  GCHcgch 10477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-fin4 10144  df-gch 10478
This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10525  gchxpidm  10526  gchina  10556
  Copyright terms: Public domain W3C validator