MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin1-2 9783
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 3491 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2 elex 3491 . . 3 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 pwexb 7464 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 pwexb 7464 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
53, 4bitri 277 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
62, 5sylibr 236 . 2 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ V)
7 ominf 8706 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
8 pwfi 8795 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9 pwfi 8795 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
108, 9bitri 277 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11 domfi 8715 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
1211expcom 416 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
1310, 12syl5bi 244 . . . . . 6 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
147, 13mtoi 201 . . . . 5 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15 fineqvlem 8708 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
1615ex 415 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
1714, 16impbid2 228 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
1817con2bid 357 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19 isfin4-2 9712 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
205, 19sylbi 219 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
2118, 20bitr4d 284 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
221, 6, 21pm5.21nii 382 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 208  wcel 2114  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5040  ωcom 7556  cdom 8483  Fincfn 8485  FinIVcfin4 9678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fin4 9685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator