Theorem isfin1-2 10434

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		pwexb 7763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		pwexb 7763	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
6	2, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ V)
7		ominf 9233	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
8		pwfi 9288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		domfi 9182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
13	10, 12	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
14	7, 13	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15		fineqvlem 9235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
16	15	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
17	14, 16	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
18	17	con2bid 357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19		isfin4-2 10363	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
20	5, 19	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
21	18, 20	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
22	1, 6, 21	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ωcom 7860   ≼ cdom 8949  Fincfn 8951  Fin^IVcfin4 10329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fin4 10336

This theorem is used by: (None)