Theorem isfin1-2 10487

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		pwexb 7801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		pwexb 7801	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
6	2, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ V)
7		ominf 9280	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
8		pwfi 9335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		domfi 9229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
13	10, 12	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
14	7, 13	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15		fineqvlem 9282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
16	15	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
17	14, 16	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
18	17	con2bid 357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19		isfin4-2 10416	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
20	5, 19	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
21	18, 20	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
22	1, 6, 21	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  Fincfn 8998  Fin^IVcfin4 10382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fin4 10389

This theorem is used by: (None)