Theorem isfin1-2 10390

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		pwexb 7768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		pwexb 7768	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
6	2, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ V)
7		ominf 9237	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
8		pwfi 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		domfi 9186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
13	10, 12	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
14	7, 13	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15		fineqvlem 9239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
16	15	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
17	14, 16	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
18	17	con2bid 357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19		isfin4-2 10319	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
20	5, 19	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
21	18, 20	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
22	1, 6, 21	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  Fincfn 8955  Fin^IVcfin4 10285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fin4 10292

This theorem is used by: (None)