MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin1-2 10425
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 3501 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2 elex 3501 . . 3 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 pwexb 7786 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 pwexb 7786 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
53, 4bitri 275 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
62, 5sylibr 234 . 2 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ V)
7 ominf 9294 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
8 pwfi 9357 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9 pwfi 9357 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
108, 9bitri 275 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11 domfi 9229 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
1211expcom 413 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
1310, 12biimtrid 242 . . . . . 6 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
147, 13mtoi 199 . . . . 5 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15 fineqvlem 9298 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
1615ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
1714, 16impbid2 226 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
1817con2bid 354 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19 isfin4-2 10354 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
205, 19sylbi 217 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
2118, 20bitr4d 282 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
221, 6, 21pm5.21nii 378 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cdom 8983  Fincfn 8985  FinIVcfin4 10320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fin4 10327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator