Theorem uc1pcl 26065

Description: Unitic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pcl.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem uc1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		uc1pcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26062	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Unitcui 20258  Poly₁cpl1 22077  coe₁cco1 22078  deg₁cdg1 25975  Unic_1pcuc1p 26048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-uc1p 26053

This theorem is referenced by:  uc1pdeg  26069  uc1pmon1p  26073  q1peqb  26077  r1pcl  26080  r1pdeglt  26081  r1pid  26082  r1pid2  26083  dvdsq1p  26084  dvdsr1p  26085  q1pdir  33547  q1pvsca  33548  r1pvsca  33549  r1pcyc  33551  r1padd1  33552  r1pid2OLD  33553  ply1divalg3  35617  r1peuqusdeg1  35618