Theorem uc1pcl 26266

Description: Unitic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pcl.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem uc1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		uc1pcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26263	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  Unitcui 20433  Poly₁cpl1 22302  coe₁cco1 22303  deg₁cdg1 26176  Unic_1pcuc1p 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-uc1p 26254

This theorem is referenced by:  uc1pdeg  26270  uc1pmon1p  26274  q1peqb  26278  r1pcl  26281  r1pdeglt  26282  r1pid  26283  r1pid2  26284  dvdsq1p  26285  dvdsr1p  26286  q1pdir  33834  q1pvsca  33835  r1pvsca  33836  r1pcyc  33838  r1padd1  33839  ply1divalg3  36029  r1peuqusdeg1  36030