Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemi1 39684
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemi.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemi.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemi.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Proof of Theorem cdlemi1
StepHypRef Expression
1 cdlemi.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemi.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38229 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simp2l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
7 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8 cdlemi.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdlemi.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdlemi.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
118, 9, 10tendocl 39633 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
125, 6, 7, 11syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
13 simp3l 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
14 cdlemi.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
151, 14atbase 38154 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1613, 15syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
171, 8, 9ltrncl 38991 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
185, 12, 16, 17syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
19 cdlemi.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
201, 8, 9, 19trlcl 39030 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
215, 12, 20syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
22 cdlemi.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
231, 22latjcl 18391 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) ∈ 𝐡)
244, 16, 21, 23syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) ∈ 𝐡)
251, 8, 9, 19trlcl 39030 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
265, 7, 25syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
271, 22latjcl 18391 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
284, 16, 26, 27syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
291, 2, 22latlej2 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
304, 16, 18, 29syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
31 cdlemi.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
322, 22, 31, 14, 8, 9, 19trlval2 39029 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) = ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
3312, 32syld3an2 1411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) = ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
3433oveq2d 7424 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
351, 22latjcl 18391 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
364, 16, 18, 35syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
37 simp1r 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
381, 8lhpbase 38864 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
401, 2, 22latlej1 18400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
414, 16, 18, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
421, 2, 22, 31, 14atmod3i1 38730 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
433, 13, 36, 39, 41, 42syl131anc 1383 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
44 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
452, 22, 44, 14, 8lhpjat2 38887 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
46453adant2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
4746oveq2d 7424 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
48 hlol 38226 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
493, 48syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
501, 31, 44olm11 38092 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
5149, 36, 50syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
5247, 51eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
5334, 43, 523eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)))
5430, 53breqtrrd 5176 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))))
552, 8, 9, 19, 10tendotp 39627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ≀ (π‘…β€˜πΊ))
565, 6, 7, 55syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ≀ (π‘…β€˜πΊ))
571, 2, 22latjlej2 18406 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ≀ (π‘…β€˜πΊ) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
584, 21, 26, 16, 57syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ)) ≀ (π‘…β€˜πΊ) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
5956, 58mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΊ))) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
601, 2, 4, 18, 24, 28, 54, 59lattrd 18398 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  1.cp1 18376  Latclat 18383  OLcol 38039  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  cdlemi2  39685  cdlemi  39686
  Copyright terms: Public domain W3C validator