Theorem cdlemi1 41481

Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemi.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemi1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem cdlemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemi.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemi.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1214	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 40027	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simp2l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
7		simp2r 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
8		cdlemi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		cdlemi.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11	8, 9, 10	tendocl 41430	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇)
12	5, 6, 7, 11	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇)
13		simp3l 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
14		cdlemi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	1, 14	atbase 39952	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
17	1, 8, 9	ltrncl 40788	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
18	5, 12, 16, 17	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
19		cdlemi.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20	1, 8, 9, 19	trlcl 40827	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ∈ 𝐵)
21	5, 12, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ∈ 𝐵)
22		cdlemi.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 18494	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) ∈ 𝐵)
24	4, 16, 21, 23	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) ∈ 𝐵)
25	1, 8, 9, 19	trlcl 40827	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
26	5, 7, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
27	1, 22	latjcl 18494	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
28	4, 16, 26, 27	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 22	latlej2 18504	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
30	4, 16, 18, 29	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
31		cdlemi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
32	2, 22, 31, 14, 8, 9, 19	trlval2 40826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
33	12, 32	syld3an2 1436	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
34	33	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
35	1, 22	latjcl 18494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵)
36	4, 16, 18, 35	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵)
37		simp1r 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
38	1, 8	lhpbase 40661	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
40	1, 2, 22	latlej1 18503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
41	4, 16, 18, 40	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
42	1, 2, 22, 31, 14	atmod3i1 40527	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃))) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑊)))
43	3, 13, 36, 39, 41, 42	syl131anc 1408	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑊)))
44		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
45	2, 22, 44, 14, 8	lhpjat2 40684	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
46	45	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
47	46	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)))
48		hlol 40024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
49	3, 48	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
50	1, 31, 44	olm11 39890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
51	49, 36, 50	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
52	47, 51	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑊)) = (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
53	34, 43, 52	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) = (𝑃 ∨ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃)))
54	30, 53	breqtrrd 5143	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))))
55	2, 8, 9, 19, 10	tendotp 41424	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))
56	5, 6, 7, 55	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))
57	1, 2, 22	latjlej2 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))))
58	4, 21, 26, 16, 57	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))))
59	56, 58	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘(𝑈‘𝐺))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
60	1, 2, 4, 18, 24, 28, 54, 59	lattrd 18501	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  lecple 17316  joincjn 18366  meetcmee 18367  1.cp1 18477  Latclat 18486  OLcol 39837  Atomscatm 39926  HLchlt 40013  LHypclh 40647  LTrncltrn 40764  trLctrl 40821  TEndoctendo 41415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-psubsp 40166  df-pmap 40167  df-padd 40459  df-lhyp 40651  df-laut 40652  df-ldil 40767  df-ltrn 40768  df-trl 40822  df-tendo 41418

This theorem is referenced by:  cdlemi2  41482  cdlemi  41483