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Theorem cdlemm10N 38775
Description: The image of the map 𝐺 is the entire one-dimensional subspace (𝐼𝑉). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l = (le‘𝐾)
cdlemm10.j = (join‘𝐾)
cdlemm10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemm10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemm10.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.c 𝐶 = {𝑟𝐴 ∣ (𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊)}
cdlemm10.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠)
cdlemm10.g 𝐺 = (𝑞𝐶 ↦ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞))
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ran 𝐺 = (𝐼𝑉))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑟,𝑠,   ,𝑟   𝐴,𝑓,𝑟,𝑠   𝑠,𝑞,𝐶   𝐺,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑓,𝑞,𝑃,𝑟,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑞,𝑠   𝑓,𝑉,𝑟,𝑠   𝑓,𝑊,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐶(𝑓,𝑟)   𝑅(𝑟,𝑞)   𝑇(𝑟)   𝐹(𝑓,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑓,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑟,𝑞)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑟,𝑞)   (𝑓,𝑠,𝑞)   𝐾(𝑟,𝑞)   (𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 7131 . . . . 5 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞) ∈ V
2 cdlemm10.g . . . . 5 𝐺 = (𝑞𝐶 ↦ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞))
31, 2fnmpti 6480 . . . 4 𝐺 Fn 𝐶
4 fvelrnb 6730 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐶 → (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔)
6 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑠 → ((𝑓𝑃) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑃) = 𝑠))
76riotabidv 7129 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑠 → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠))
8 riotaex 7131 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠) ∈ V
97, 2, 8fvmpt 6775 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐶 → (𝐺𝑠) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠))
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠)
119, 10eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐶 → (𝐺𝑠) = 𝐹)
1211adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → (𝐺𝑠) = 𝐹)
1312eqeq1d 2740 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → ((𝐺𝑠) = 𝑔𝐹 = 𝑔))
1413rexbidva 3206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔 ↔ ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
15 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑔𝑇)
17 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑃𝐴)
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
2218, 19, 20, 21ltrnat 37797 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑃𝐴) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐴)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐴)
24 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
25 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 37021 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝐾 ∈ Lat)
2724, 19atbase 36946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2924, 20, 21ltrncl 37782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
3015, 16, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
31 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14 = (join‘𝐾)
3224, 31latjcl 17777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
3326, 28, 30, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
34 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑉𝐴)
3524, 31, 19hlatjcl 37024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑉𝐴) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3625, 17, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3724, 18, 31latlej2 17787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑔𝑃) (𝑃 (𝑔𝑃)))
3826, 28, 30, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) (𝑃 (𝑔𝑃)))
39 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
40 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4118, 31, 19, 20, 21, 40trljat1 37823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) = (𝑃 (𝑔𝑃)))
4215, 16, 39, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) = (𝑃 (𝑔𝑃)))
43 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑅𝑔) 𝑉)
4424, 20, 21, 40trlcl 37821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾))
4515, 16, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾))
4624, 19atbase 36946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4824, 18, 31latjlej2 17792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝑔) 𝑉 → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉)))
4926, 45, 47, 28, 48syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ((𝑅𝑔) 𝑉 → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉)))
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉))
5142, 50eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) (𝑃 𝑉))
5224, 18, 26, 30, 33, 36, 38, 51lattrd 17784 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) (𝑃 𝑉))
5318, 19, 20, 21ltrnel 37796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑔𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
5453simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)
5515, 16, 39, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)
5652, 55jca 515 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
57 breq1 5033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (𝑟 (𝑃 𝑉) ↔ (𝑔𝑃) (𝑃 𝑉)))
58 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (𝑟 𝑊 ↔ (𝑔𝑃) 𝑊))
5958notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (¬ 𝑟 𝑊 ↔ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
6057, 59anbi12d 634 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑔𝑃) → ((𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ↔ ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)))
61 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = {𝑟𝐴 ∣ (𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊)}
6260, 61elrab2 3591 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑃) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑔𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)))
6323, 56, 62sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐶)
6418, 19, 20, 21cdlemeiota 38242 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6515, 39, 16, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑔 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6665eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔)
67 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑔𝑃) → ((𝑓𝑃) = 𝑠 ↔ (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6867riotabidv 7129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑔𝑃) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6910, 68syl5eq 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑔𝑃) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
7069eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑔𝑃) → (𝐹 = 𝑔 ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔))
7170rspcev 3526 . . . . . . . . 9 (((𝑔𝑃) ∈ 𝐶 ∧ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔)
7263, 66, 71syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔)
7372ex 416 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
74 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 (𝑃 𝑉) ↔ 𝑠 (𝑃 𝑉)))
75 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 𝑊𝑠 𝑊))
7675notbid 321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑠 → (¬ 𝑟 𝑊 ↔ ¬ 𝑠 𝑊))
7774, 76anbi12d 634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑠 → ((𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ↔ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)))
7877, 61elrab2 3591 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐶 ↔ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)))
79 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
80 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃𝐴)
81 simpl2r 1228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ¬ 𝑃 𝑊)
82 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠𝐴)
83 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ¬ 𝑠 𝑊)
8418, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 38236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝐹𝑇)
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 38238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑠)
8684, 85jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠))
8779, 80, 81, 82, 83, 86syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠))
88 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → 𝐹𝑇)
89 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
90 simp12 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
91 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9218, 31, 91, 19, 20, 21, 40trlval2 37820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
9389, 88, 90, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
94 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐹𝑃) = 𝑠)
9594oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑃 (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑠))
9695oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊))
9793, 96eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊))
98 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
99 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑉𝐴)
10018, 31, 19hlatlej1 37032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑉𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑉))
10198, 80, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃 (𝑃 𝑉))
102 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠 (𝑃 𝑉))
10398hllatd 37021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
10480, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10524, 19atbase 36946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
106105ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
10798, 80, 99, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
10824, 18, 31latjle12 17788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑉) ∧ 𝑠 (𝑃 𝑉)) ↔ (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉)))
109103, 104, 106, 107, 108syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 (𝑃 𝑉) ∧ 𝑠 (𝑃 𝑉)) ↔ (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉)))
110101, 102, 109mpbi2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉))
11124, 31, 19hlatjcl 37024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑠𝐴) → (𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
11298, 80, 82, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
113 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑊𝐻)
11424, 20lhpbase 37655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
11624, 18, 91latmlem1 17807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊)))
117103, 112, 107, 115, 116syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊)))
118110, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊))
11918, 31, 91, 19, 20lhpat4N 37701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑉)
120119adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑉)
121118, 120breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) 𝑉)
1221213adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) 𝑉)
12397, 122eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) 𝑉)
12488, 123jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
12587, 124mpd3an3 1463 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
12678, 125sylan2b 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
127126ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑠𝐶 → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉)))
128 eleq1 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 → (𝐹𝑇𝑔𝑇))
129 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 𝑔 → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑔))
130129breq1d 5040 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 → ((𝑅𝐹) 𝑉 ↔ (𝑅𝑔) 𝑉))
131128, 130anbi12d 634 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 𝑔 → ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉) ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
132131biimpcd 252 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉) → (𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
133127, 132syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑠𝐶 → (𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉))))
134133rexlimdv 3193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
13573, 134impbid 215 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉) ↔ ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
13614, 135bitr4d 285 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔 ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
137 fveq2 6674 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝑅𝑓) = (𝑅𝑔))
138137breq1d 5040 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅𝑓) 𝑉 ↔ (𝑅𝑔) 𝑉))
139138elrab 3588 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉} ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉))
140136, 139bitr4di 292 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉}))
141 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
142 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑊𝐻)
143 simp3l 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
144143, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
145 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 𝑊)
146 cdlemm10.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
14724, 18, 20, 21, 40, 146diaval 38689 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) = {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉})
148141, 142, 144, 145, 147syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) = {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉})
149148eleq2d 2818 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑉) ↔ 𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉}))
150140, 149bitr4d 285 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔𝑔 ∈ (𝐼𝑉)))
1515, 150syl5bb 286 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑔 ∈ ran 𝐺𝑔 ∈ (𝐼𝑉)))
152151eqrdv 2736 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ran 𝐺 = (𝐼𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  {crab 3057   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526   Fn wfn 6334  cfv 6339  crio 7126  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  joincjn 17670  meetcmee 17671  Latclat 17771  Atomscatm 36920  HLchlt 37007  LHypclh 37641  LTrncltrn 37758  trLctrl 37815  DIsoAcdia 38685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-riotaBAD 36610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-undef 7968  df-map 8439  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36833  df-ol 36835  df-oml 36836  df-covers 36923  df-ats 36924  df-atl 36955  df-cvlat 36979  df-hlat 37008  df-llines 37155  df-lplanes 37156  df-lvols 37157  df-lines 37158  df-psubsp 37160  df-pmap 37161  df-padd 37453  df-lhyp 37645  df-laut 37646  df-ldil 37761  df-ltrn 37762  df-trl 37816  df-disoa 38686
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