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Theorem cdlemm10N 38134
Description: The image of the map 𝐺 is the entire one-dimensional subspace (𝐼𝑉). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l = (le‘𝐾)
cdlemm10.j = (join‘𝐾)
cdlemm10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemm10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemm10.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
cdlemm10.c 𝐶 = {𝑟𝐴 ∣ (𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊)}
cdlemm10.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠)
cdlemm10.g 𝐺 = (𝑞𝐶 ↦ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞))
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ran 𝐺 = (𝐼𝑉))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑟,𝑠,   ,𝑟   𝐴,𝑓,𝑟,𝑠   𝑠,𝑞,𝐶   𝐺,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑓,𝑞,𝑃,𝑟,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑞,𝑠   𝑓,𝑉,𝑟,𝑠   𝑓,𝑊,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐶(𝑓,𝑟)   𝑅(𝑟,𝑞)   𝑇(𝑟)   𝐹(𝑓,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑓,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑟,𝑞)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑟,𝑞)   (𝑓,𝑠,𝑞)   𝐾(𝑟,𝑞)   (𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 7107 . . . . 5 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞) ∈ V
2 cdlemm10.g . . . . 5 𝐺 = (𝑞𝐶 ↦ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞))
31, 2fnmpti 6484 . . . 4 𝐺 Fn 𝐶
4 fvelrnb 6719 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐶 → (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔)
6 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑠 → ((𝑓𝑃) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑃) = 𝑠))
76riotabidv 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑠 → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠))
8 riotaex 7107 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠) ∈ V
97, 2, 8fvmpt 6761 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐶 → (𝐺𝑠) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠))
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠)
119, 10syl6eqr 2871 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐶 → (𝐺𝑠) = 𝐹)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → (𝐺𝑠) = 𝐹)
1312eqeq1d 2820 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → ((𝐺𝑠) = 𝑔𝐹 = 𝑔))
1413rexbidva 3293 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔 ↔ ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
15 simpl1 1183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑔𝑇)
17 simpl2l 1218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑃𝐴)
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
2218, 19, 20, 21ltrnat 37156 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑃𝐴) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐴)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐴)
24 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
25 simpl1l 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 36380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝐾 ∈ Lat)
2724, 19atbase 36305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2924, 20, 21ltrncl 37141 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
3015, 16, 28, 29syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
31 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14 = (join‘𝐾)
3224, 31latjcl 17649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
3326, 28, 30, 32syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
34 simpl3l 1220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑉𝐴)
3524, 31, 19hlatjcl 36383 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑉𝐴) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3625, 17, 34, 35syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3724, 18, 31latlej2 17659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑔𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑔𝑃) (𝑃 (𝑔𝑃)))
3826, 28, 30, 37syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) (𝑃 (𝑔𝑃)))
39 simpl2 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
40 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4118, 31, 19, 20, 21, 40trljat1 37182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) = (𝑃 (𝑔𝑃)))
4215, 16, 39, 41syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) = (𝑃 (𝑔𝑃)))
43 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑅𝑔) 𝑉)
4424, 20, 21, 40trlcl 37180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾))
4515, 16, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾))
4624, 19atbase 36305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4824, 18, 31latjlej2 17664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑔) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝑔) 𝑉 → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉)))
4926, 45, 47, 28, 48syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ((𝑅𝑔) 𝑉 → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉)))
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑃 𝑉))
5142, 50eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑃 (𝑔𝑃)) (𝑃 𝑉))
5224, 18, 26, 30, 33, 36, 38, 51lattrd 17656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) (𝑃 𝑉))
5318, 19, 20, 21ltrnel 37155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑔𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
5453simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)
5515, 16, 39, 54syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)
5652, 55jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
57 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (𝑟 (𝑃 𝑉) ↔ (𝑔𝑃) (𝑃 𝑉)))
58 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (𝑟 𝑊 ↔ (𝑔𝑃) 𝑊))
5958notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑔𝑃) → (¬ 𝑟 𝑊 ↔ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊))
6057, 59anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑔𝑃) → ((𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ↔ ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)))
61 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = {𝑟𝐴 ∣ (𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊)}
6260, 61elrab2 3680 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑃) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑔𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔𝑃) (𝑃 𝑉) ∧ ¬ (𝑔𝑃) 𝑊)))
6323, 56, 62sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑔𝑃) ∈ 𝐶)
6418, 19, 20, 21cdlemeiota 37601 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6515, 39, 16, 64syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → 𝑔 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6665eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔)
67 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑔𝑃) → ((𝑓𝑃) = 𝑠 ↔ (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6867riotabidv 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑔𝑃) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑠) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
6910, 68syl5eq 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑔𝑃) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)))
7069eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑔𝑃) → (𝐹 = 𝑔 ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔))
7170rspcev 3620 . . . . . . . . 9 (((𝑔𝑃) ∈ 𝐶 ∧ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝑔𝑃)) = 𝑔) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔)
7263, 66, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔)
7372ex 413 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉) → ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
74 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 (𝑃 𝑉) ↔ 𝑠 (𝑃 𝑉)))
75 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 𝑊𝑠 𝑊))
7675notbid 319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑠 → (¬ 𝑟 𝑊 ↔ ¬ 𝑠 𝑊))
7774, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑠 → ((𝑟 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ↔ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)))
7877, 61elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐶 ↔ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)))
79 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
80 simpl2l 1218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃𝐴)
81 simpl2r 1219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ¬ 𝑃 𝑊)
82 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠𝐴)
83 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ¬ 𝑠 𝑊)
8418, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 37595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝐹𝑇)
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 37597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑠)
8684, 85jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠))
8779, 80, 81, 82, 83, 86syl122anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠))
88 simp3l 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → 𝐹𝑇)
89 simp11 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
90 simp12 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
91 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9218, 31, 91, 19, 20, 21, 40trlval2 37179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
9389, 88, 90, 92syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
94 simp3r 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐹𝑃) = 𝑠)
9594oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑃 (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑠))
9695oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → ((𝑃 (𝐹𝑃))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊))
9793, 96eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊))
98 simpl1l 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
99 simpl3l 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑉𝐴)
10018, 31, 19hlatlej1 36391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑉𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑉))
10198, 80, 99, 100syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃 (𝑃 𝑉))
102 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠 (𝑃 𝑉))
10398hllatd 36380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
10480, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10524, 19atbase 36305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
106105ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
10798, 80, 99, 35syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
10824, 18, 31latjle12 17660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑉) ∧ 𝑠 (𝑃 𝑉)) ↔ (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉)))
109103, 104, 106, 107, 108syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 (𝑃 𝑉) ∧ 𝑠 (𝑃 𝑉)) ↔ (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉)))
110101, 102, 109mpbi2and 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉))
11124, 31, 19hlatjcl 36383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑠𝐴) → (𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
11298, 80, 82, 111syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
113 simpl1r 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑊𝐻)
11424, 20lhpbase 37014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
11624, 18, 91latmlem1 17679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑠) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊)))
117103, 112, 107, 115, 116syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠) (𝑃 𝑉) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊)))
118110, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊))
11918, 31, 91, 19, 20lhpat4N 37060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑉)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑉)(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑉)
121118, 120breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) 𝑉)
1221213adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → ((𝑃 𝑠)(meet‘𝐾)𝑊) 𝑉)
12397, 122eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝑅𝐹) 𝑉)
12488, 123jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑠)) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
12587, 124mpd3an3 1453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ (𝑠 (𝑃 𝑉) ∧ ¬ 𝑠 𝑊))) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
12678, 125sylan2b 593 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑠𝐶) → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉))
127126ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑠𝐶 → (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉)))
128 eleq1 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 → (𝐹𝑇𝑔𝑇))
129 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 𝑔 → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑔))
130129breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 → ((𝑅𝐹) 𝑉 ↔ (𝑅𝑔) 𝑉))
131128, 130anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 𝑔 → ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉) ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
132131biimpcd 250 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑉) → (𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
133127, 132syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑠𝐶 → (𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉))))
134133rexlimdv 3280 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔 → (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
13573, 134impbid 213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉) ↔ ∃𝑠𝐶 𝐹 = 𝑔))
13614, 135bitr4d 283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔 ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉)))
137 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝑅𝑓) = (𝑅𝑔))
138137breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅𝑓) 𝑉 ↔ (𝑅𝑔) 𝑉))
139138elrab 3677 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉} ↔ (𝑔𝑇 ∧ (𝑅𝑔) 𝑉))
140136, 139syl6bbr 290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉}))
141 simp1l 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
142 simp1r 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑊𝐻)
143 simp3l 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
144143, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
145 simp3r 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 𝑊)
146 cdlemm10.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
14724, 18, 20, 21, 40, 146diaval 38048 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) = {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉})
148141, 142, 144, 145, 147syl22anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) = {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉})
149148eleq2d 2895 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑉) ↔ 𝑔 ∈ {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑉}))
150140, 149bitr4d 283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (∃𝑠𝐶 (𝐺𝑠) = 𝑔𝑔 ∈ (𝐼𝑉)))
1515, 150syl5bb 284 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑔 ∈ ran 𝐺𝑔 ∈ (𝐼𝑉)))
152151eqrdv 2816 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ran 𝐺 = (𝐼𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174  DIsoAcdia 38044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-disoa 38045
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