Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemm10N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemm10N 39581
Description: The image of the map 𝐺 is the entire one-dimensional subspace (πΌβ€˜π‘‰). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemm10.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemm10.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemm10.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemm10.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemm10.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemm10.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemm10.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∣ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)}
cdlemm10.f 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠)
cdlemm10.g 𝐺 = (π‘ž ∈ 𝐢 ↦ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = π‘ž))
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ ran 𝐺 = (πΌβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘Ÿ,𝑠, ≀   ∨ ,π‘Ÿ   𝐴,𝑓,π‘Ÿ,𝑠   𝑠,π‘ž,𝐢   𝐺,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑓,π‘ž,𝑃,π‘Ÿ,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,π‘ž,𝑠   𝑓,𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝑓,π‘Š,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘ž)   𝐢(𝑓,π‘Ÿ)   𝑅(π‘Ÿ,π‘ž)   𝑇(π‘Ÿ)   𝐹(𝑓,𝑠,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐺(𝑓,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐻(π‘Ÿ,π‘ž)   𝐼(𝑓,𝑠,π‘Ÿ,π‘ž)   ∨ (𝑓,𝑠,π‘ž)   𝐾(π‘Ÿ,π‘ž)   ≀ (π‘ž)   𝑉(π‘ž)   π‘Š(π‘ž)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 7317 . . . . 5 (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = π‘ž) ∈ V
2 cdlemm10.g . . . . 5 𝐺 = (π‘ž ∈ 𝐢 ↦ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = π‘ž))
31, 2fnmpti 6644 . . . 4 𝐺 Fn 𝐢
4 fvelrnb 6903 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐢 β†’ (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔)
6 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = 𝑠 β†’ ((π‘“β€˜π‘ƒ) = π‘ž ↔ (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠))
76riotabidv 7315 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑠 β†’ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = π‘ž) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠))
8 riotaex 7317 . . . . . . . . . . 11 (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠) ∈ V
97, 2, 8fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠))
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠)
119, 10eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = 𝐹)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = 𝐹)
1312eqeq1d 2738 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔 ↔ 𝐹 = 𝑔))
1413rexbidva 3173 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔))
15 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
17 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2218, 19, 20, 21ltrnat 38603 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
25 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 37826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2724, 19atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2924, 20, 21ltrncl 38588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3015, 16, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3224, 31latjcl 18328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3326, 28, 30, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
3524, 31, 19hlatjcl 37829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3625, 17, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3724, 18, 31latlej2 18338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)))
3826, 28, 30, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)))
39 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
40 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4118, 31, 19, 20, 21, 40trljat1 38629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) = (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)))
4215, 16, 39, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) = (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)))
43 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)
4424, 20, 21, 40trlcl 38627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4515, 16, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘…β€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4624, 19atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4824, 18, 31latjlej2 18343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉 β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
4926, 45, 47, 28, 48syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉 β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
5142, 50eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘”β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
5224, 18, 26, 30, 33, 36, 38, 51lattrd 18335 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
5318, 19, 20, 21ltrnel 38602 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5453simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
5515, 16, 39, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
5652, 55jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ ((π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
57 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ↔ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
58 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ (π‘Ÿ ≀ π‘Š ↔ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5958notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ↔ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
6057, 59anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ ((π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)))
61 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∣ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)}
6260, 61elrab2 3648 . . . . . . . . . 10 ((π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ (π‘”β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)))
6323, 56, 62sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢)
6418, 19, 20, 21cdlemeiota 39048 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)))
6515, 39, 16, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ 𝑔 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)))
6665eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)) = 𝑔)
67 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ ((π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠 ↔ (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)))
6867riotabidv 7315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑠) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)))
6910, 68eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)))
7069eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘”β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐹 = 𝑔 ↔ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)) = 𝑔))
7170rspcev 3581 . . . . . . . . 9 (((π‘”β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = (π‘”β€˜π‘ƒ)) = 𝑔) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔)
7263, 66, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔)
7372ex 413 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔))
74 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ↔ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
75 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ ≀ π‘Š ↔ 𝑠 ≀ π‘Š))
7675notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
7774, 76anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š) ↔ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)))
7877, 61elrab2 3648 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)))
79 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
80 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
81 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
82 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
83 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)
8418, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 39042 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 39044 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)
8684, 85jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠))
8779, 80, 81, 82, 83, 86syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠))
88 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
89 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
90 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
91 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
9218, 31, 91, 19, 20, 21, 40trlval2 38626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9389, 88, 90, 92syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
94 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)
9594oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑠))
9695oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9793, 96eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
98 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
99 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
10018, 31, 19hlatlej1 37837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
10198, 80, 99, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
102 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
10398hllatd 37826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10480, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10524, 19atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106105ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10798, 80, 99, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10824, 18, 31latjle12 18339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑠) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
109103, 104, 106, 107, 108syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑠) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
110101, 102, 109mpbi2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
11124, 31, 19hlatjcl 37829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11298, 80, 82, 111syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
113 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
11424, 20lhpbase 38461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11624, 18, 91latmlem1 18358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
117103, 112, 107, 115, 116syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
118110, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
11918, 31, 91, 19, 20lhpat4N 38507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑉)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑉)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑉)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑉)
121118, 120breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ 𝑉)
1221213adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ 𝑉)
12397, 122eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉)
12488, 123jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑠)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉))
12587, 124mpd3an3 1462 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉))
12678, 125sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉))
127126ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐢 β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉)))
128 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ 𝑔 ∈ 𝑇))
129 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 𝑔 β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘”))
130129breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉 ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉))
131128, 130anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 𝑔 β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉) ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)))
132131biimpcd 248 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑉) β†’ (𝐹 = 𝑔 β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)))
133127, 132syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐢 β†’ (𝐹 = 𝑔 β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉))))
134133rexlimdv 3150 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔 β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)))
13573, 134impbid 211 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 𝐹 = 𝑔))
13614, 135bitr4d 281 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉)))
137 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 β†’ (π‘…β€˜π‘“) = (π‘…β€˜π‘”))
138137breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉 ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉))
139138elrab 3645 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉} ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑉))
140136, 139bitr4di 288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔 ↔ 𝑔 ∈ {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉}))
141 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
142 simp1r 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
143 simp3l 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
144143, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
145 simp3r 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
146 cdlemm10.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14724, 18, 20, 21, 40, 146diaval 39495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‰) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉})
148141, 142, 144, 145, 147syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‰) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉})
149148eleq2d 2823 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑔 ∈ (πΌβ€˜π‘‰) ↔ 𝑔 ∈ {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉}))
150140, 149bitr4d 281 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐢 (πΊβ€˜π‘ ) = 𝑔 ↔ 𝑔 ∈ (πΌβ€˜π‘‰)))
1515, 150bitrid 282 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑔 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑔 ∈ (πΌβ€˜π‘‰)))
152151eqrdv 2734 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ ran 𝐺 = (πΌβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3073  {crab 3407   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  β€˜cfv 6496  β„©crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621  DIsoAcdia 39491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-disoa 39492
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator