Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32e Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme32e 39772
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme32.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme32.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme32e ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐢   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   𝑦,π‘Œ   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   π‘Œ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem cdleme32e
StepHypRef Expression
1 simp23l 1291 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
21pm2.24d 151 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑃 β‰  𝑄 β†’ 𝑋 ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
3 simp11l 1281 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38690 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp11r 1282 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7 cdleme32.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleme32.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
97, 8lhpbase 39325 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
106, 9syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
11 cdleme32.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdleme32.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
137, 11, 12latleeqm1 18421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Š ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) = 𝑋))
144, 5, 10, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Š ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) = 𝑋))
157, 12latmcl 18394 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
164, 5, 10, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
17 simp21r 1288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
187, 12latmcl 18394 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
194, 17, 10, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
20 simp11 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21 simp12 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
22 simp13 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
23 simp31 1206 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
24 cdleme32.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 cdleme32.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
26 cdleme32.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
27 cdleme32.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
28 cdleme32.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
29 cdleme32.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
30 cdleme32.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
31 cdleme32.n . . . . . . . . 9 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
327, 11, 24, 12, 25, 8, 26, 27, 28, 29, 30, 31cdleme27cl 39693 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
3320, 21, 22, 23, 1, 32syl122anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
347, 24latjcl 18393 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑁 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
354, 33, 19, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
36 simp33 1208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
377, 11, 12latmlem1 18423 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
384, 5, 17, 10, 37syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
3936, 38mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
407, 11, 24latlej2 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑁 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
414, 33, 19, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
427, 11, 4, 16, 19, 35, 39, 41lattrd 18400 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
43 breq1 5141 . . . . 5 ((𝑋 ∧ π‘Š) = 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ 𝑋 ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
4442, 43syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) = 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
4514, 44sylbid 239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Š β†’ 𝑋 ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
46 simp22 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
47 pm4.53 982 . . . 4 (Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ↔ (Β¬ 𝑃 β‰  𝑄 ∨ 𝑋 ≀ π‘Š))
4846, 47sylib 217 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑃 β‰  𝑄 ∨ 𝑋 ≀ π‘Š))
492, 45, 48mpjaod 857 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
50 cdleme32.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
5150cdleme31fv2 39720 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋)
525, 46, 51syl2anc 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 𝑋)
53 simp1 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
54 simp23 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š))
55 simp32 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
56 cdleme32.o . . . 4 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
577, 11, 24, 12, 25, 8, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 56, 50cdleme32a 39768 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
5853, 17, 54, 23, 55, 57syl122anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (𝑁 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
5949, 52, 583brtr4d 5170 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  ifcif 4520   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  meetcmee 18266  Latclat 18385  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315
This theorem is referenced by:  cdleme32f  39773
  Copyright terms: Public domain W3C validator