Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn2 40522
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 30. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemn2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn2.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cdlemn2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑋)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑄,β„Ž   𝑆,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   ∨ (β„Ž)   𝑋(β„Ž)
Proof of Theorem cdlemn2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
3 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
4 cdlemn2.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 cdlemn2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemn2.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemn2.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemn2.f . . . . . . 7 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑆)
94, 5, 6, 7, 8ltrniotacl 39906 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
11 cdlemn2.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
13 cdlemn2.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
144, 11, 12, 5, 6, 7, 13trlval2 39490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
151, 10, 2, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
164, 5, 6, 7, 8ltrniotaval 39908 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑆)
171, 2, 3, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑆)
1817oveq2d 7417 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ 𝑆))
1918oveq1d 7416 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑄 ∨ 𝑆)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2015, 19eqtrd 2764 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ 𝑆)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
21 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2221hllatd 38690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 simp21l 1287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
24 cdlemn2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 5atbase 38615 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
27 simp23l 1291 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2824, 4, 11latlej1 18400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋))
2922, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋))
30 simp3 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋))
31 simp22l 1289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3224, 5atbase 38615 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3424, 11latjcl 18391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
3522, 26, 27, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
3624, 4, 11latjle12 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ (𝑄 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑆) ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)))
3722, 26, 33, 35, 36syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑆) ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)))
3829, 30, 37mpbi2and 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑆) ≀ (𝑄 ∨ 𝑋))
3924, 11, 5hlatjcl 38693 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
4021, 23, 31, 39syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
41 simp1r 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4224, 6lhpbase 39325 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
4424, 4, 12latmlem1 18421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡 ∧ (𝑄 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑆) ≀ (𝑄 ∨ 𝑋) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑆)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
4522, 40, 35, 43, 44syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑆) ≀ (𝑄 ∨ 𝑋) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑆)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
4638, 45mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑆)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4720, 46eqbrtrd 5160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
48 simp23 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
4924, 4, 11, 12, 5, 6lhple 39369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋)
501, 2, 48, 49syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑋)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋)
5147, 50breqtrd 5164 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  trLctrl 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8817  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486
This theorem is referenced by:  cdlemn2a  40523
  Copyright terms: Public domain W3C validator