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Theorem cdleme22d 37359
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 9th line on p. 115. (Contributed by NM, 4-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22d (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊))

Proof of Theorem cdleme22d
StepHypRef Expression
1 simp3r 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2 simp1l 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp22l 1284 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇𝐴)
4 simp23l 1286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉𝐴)
5 cdleme22.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
6 cdleme22.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
7 cdleme22.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatlej1 36391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑉𝐴) → 𝑇 (𝑇 𝑉))
92, 3, 4, 8syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇 (𝑇 𝑉))
102hllatd 36380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ Lat)
11 simp21l 1282 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆𝐴)
12 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 7atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 7atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1712, 6, 7hlatjcl 36383 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑉𝐴) → (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
182, 3, 4, 17syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
1912, 5, 6latjle12 17660 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑇 (𝑇 𝑉)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉)))
2010, 14, 16, 18, 19syl13anc 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑇 (𝑇 𝑉)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉)))
211, 9, 20mpbi2and 708 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉))
2212, 6, 7hlatjcl 36383 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
232, 11, 3, 22syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
24 simp1r 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑊𝐻)
25 cdleme22.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2612, 25lhpbase 37014 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2724, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
28 cdleme22.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
2912, 5, 28latmlem1 17679 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊)))
3010, 23, 18, 27, 29syl13anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊)))
3121, 30mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊))
32 simp1 1128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simp22 1199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊))
34 eqid 2818 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
355, 28, 34, 7, 25lhpmat 37046 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) → (𝑇 𝑊) = (0.‘𝐾))
3632, 33, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇 𝑊) = (0.‘𝐾))
3736oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((0.‘𝐾) 𝑉))
38 simp23r 1287 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 𝑊)
3912, 5, 6, 28, 7atmod4i1 36882 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((𝑇 𝑉) 𝑊))
402, 4, 16, 27, 38, 39syl131anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((𝑇 𝑉) 𝑊))
41 hlol 36377 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
422, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ OL)
4312, 7atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
444, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4512, 6, 34olj02 36242 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑉) = 𝑉)
4642, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((0.‘𝐾) 𝑉) = 𝑉)
4737, 40, 463eqtr3d 2861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑉) 𝑊) = 𝑉)
4831, 47breqtrd 5083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉)
49 hlatl 36376 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
502, 49syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ AtLat)
51 simp21r 1283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ¬ 𝑆 𝑊)
52 simp3l 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆𝑇)
535, 6, 28, 7, 25lhpat 37059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑆𝑇)) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴)
542, 24, 11, 51, 3, 52, 53syl222anc 1378 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴)
555, 7atcmp 36327 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉 ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉))
5650, 54, 4, 55syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉 ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉))
5748, 56mpbid 233 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉)
5857eqcomd 2824 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  0.cp0 17635  Latclat 17643  OLcol 36190  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  cdleme22g  37364
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