Theorem cdlemk39 36986

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 31, p. 119. Trace-preserving property of tau, represented by 𝑋. (Contributed by NM, 19-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk4.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk4.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk4.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk39	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑏, ∧   ≤ ,𝑏,𝑧   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏,𝑧   𝐾,𝑏,𝑧   𝑁,𝑏,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑏)   𝑌(𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1258	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3ll 1329	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp1 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp22l 1395	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
5		simp22r 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		cdlemk4.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		cdlemk4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cdlemk4.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		cdlemk4.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemk4.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	trlnidat 36243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
12	3, 4, 5, 11	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
13		cdlemk4.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		cdlemk4.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	13, 14, 7	hlatlej1 35445	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
16	1, 2, 12, 15	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
17		cdlemk4.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
18		cdlemk4.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
19		cdlemk4.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
20		cdlemk4.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
21	6, 13, 14, 17, 7, 8, 9, 10, 18, 19, 20	cdlemk38 36985	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑋‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
22	1	hllatd 35434	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐾 ∈ Lat)
23	6, 7	atbase 35359	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
24	2, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
25	6, 13, 14, 17, 7, 8, 9, 10, 18, 19, 20	cdlemk35 36982	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
26	13, 7, 8, 9	ltrnat 36210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
27	3, 25, 2, 26	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
28	6, 7	atbase 35359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵)
30	6, 14, 7	hlatjcl 35437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 12, 30	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
32	6, 13, 14	latjle12 17422	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑋‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))))
33	22, 24, 29, 31, 32	syl13anc 1495	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ((𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑋‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))))
34	16, 21, 33	mpbi2and 703	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
35	6, 14, 7	hlatjcl 35437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 27, 35	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵)
37		simp1r 1259	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
38	6, 8	lhpbase 36068	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑊 ∈ 𝐵)
40	6, 13, 17	latmlem1 17441	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) → ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑊)))
41	22, 36, 31, 39, 40	syl13anc 1495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) → ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑊)))
42	34, 41	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑊))
43		simp3l 1262	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
44	13, 14, 17, 7, 8, 9, 10	trlval2 36233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝑋) = ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊))
45	3, 25, 43, 44	syl3anc 1494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) = ((𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊))
46	13, 14, 17, 7, 8, 9, 10	trlval5 36259	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑊))
47	3, 4, 43, 46	syl3anc 1494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑊))
48	42, 45, 47	3brtr4d 4907	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117   class class class wbr 4875   I cid 5251  ^◡ccnv 5345   ↾ cres 5348   ∘ ccom 5350  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  lecple 16319  joincjn 17304  meetcmee 17305  Latclat 17405  Atomscatm 35333  HLchlt 35420  LHypclh 36054  LTrncltrn 36171  trLctrl 36228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-riotaBAD 35023

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-map 8129  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229

This theorem is referenced by:  cdlemk39s  37009