Theorem lemuldiv4d 43385

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lemuldiv4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
lemuldiv4d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
lemuldiv4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv4d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem lemuldiv4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemuldiv4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
2		lemuldiv4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemuldiv4d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemuldiv4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lemuldiv4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		lemuldiv 12101	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
8	7	bicomd 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256   / cdiv 11878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879

This theorem is referenced by:  imo72b2  43386