Theorem lemuldiv4d 44998

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lemuldiv4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
lemuldiv4d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
lemuldiv4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv4d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem lemuldiv4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemuldiv4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
2		lemuldiv4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemuldiv4d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemuldiv4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lemuldiv4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		lemuldiv 12122	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
8	7	bicomd 226	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  imo72b2  44999