Theorem lemuldiv4d 44628

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lemuldiv4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
lemuldiv4d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
lemuldiv4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv4d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem lemuldiv4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemuldiv4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
2		lemuldiv4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemuldiv4d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemuldiv4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lemuldiv4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		lemuldiv 12031	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
8	7	bicomd 225	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶))
9	1, 8	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  0cc0 11034   · cmul 11039   < clt 11175   ≤ cle 11176   / cdiv 11803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804

This theorem is referenced by:  imo72b2  44629