Theorem lemuldiv4d 45171

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lemuldiv4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
lemuldiv4d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
lemuldiv4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv4d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem lemuldiv4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemuldiv4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
2		lemuldiv4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemuldiv4d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemuldiv4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lemuldiv4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		lemuldiv 12197	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
8	7	bicomd 226	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974

This theorem is used by:  imo72b2  45172