Theorem lemuldiv4d 43632

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lemuldiv4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
lemuldiv4d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
lemuldiv4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemuldiv4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv4d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem lemuldiv4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemuldiv4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴))
2		lemuldiv4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemuldiv4d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemuldiv4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lemuldiv4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		lemuldiv 12132	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴)))
8	7	bicomd 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151   < clt 11286   ≤ cle 11287   / cdiv 11909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910

This theorem is referenced by:  imo72b2  43633