Theorem lemuldiv 12036

Description: 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lemuldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmul2 12033	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
2	1	3com12 1124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ (𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
4		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		gt0ne0 11615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
6	5	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
7		redivcl 11874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	syld3an3 1412	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < 𝐴))
12		remulcl 11123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
14		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	lenltd 11292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
16	15	3adant3r 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
17	3, 11, 16	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  lemuldiv2  12037  lemuldivd  13035  hashdvds  16745  nmoleub2lem3  25082  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  radcnvlem1  26378  pige3ALT  26484  fsumfldivdiaglem  27152  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem7  27253  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  dchrisum0flblem1  27471  mulog2sumlem2  27498  pntibndlem3  27555  lemuldiv3d  44597  lemuldiv4d  44598  2ltceilhalf  47780  lighneallem4a  48071  divge1b  48988