MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemuldiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemuldiv 12043
Description: 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
lemuldiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem lemuldiv
StepHypRef Expression
1 ltdivmul2 12040 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ต / ๐ถ) < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ถ)))
213com12 1124 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ต / ๐ถ) < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ถ)))
32notbid 318 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (ยฌ (๐ต / ๐ถ) < ๐ด โ†” ยฌ ๐ต < (๐ด ยท ๐ถ)))
4 simp1 1137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 gt0ne0 11628 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
653adant1 1131 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
7 redivcl 11882 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„)
86, 7syld3an3 1410 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„)
983expb 1121 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„)
1093adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„)
114, 10lenltd 11309 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต / ๐ถ) < ๐ด))
12 remulcl 11144 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
13123adant2 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
14 simp2 1138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1513, 14lenltd 11309 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < (๐ด ยท ๐ถ)))
16153adant3r 1182 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < (๐ด ยท ๐ถ)))
173, 11, 163bitr4rd 312 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  lemuldiv2  12044  lemuldivd  13014  hashdvds  16655  nmoleub2lem3  24501  mbfi1fseqlem4  25106  mbfi1fseqlem5  25107  radcnvlem1  25795  pige3ALT  25899  fsumfldivdiaglem  26561  bposlem2  26656  bposlem3  26657  bposlem4  26658  bposlem7  26661  gausslemma2dlem1a  26736  lgsquadlem1  26751  lgsquadlem2  26752  chebbnd1lem2  26841  chebbnd1lem3  26842  dchrisum0flblem1  26879  mulog2sumlem2  26906  pntibndlem3  26963  lemuldiv3d  42535  lemuldiv4d  42536  lighneallem4a  45890  divge1b  46683
  Copyright terms: Public domain W3C validator