Theorem lemuldiv 12120

Description: 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lemuldiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lemuldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmul2 12117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
2	1	3com12 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ (𝐵 / 𝐶) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
4		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		gt0ne0 11704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
6	5	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
7		redivcl 11959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	syld3an3 1436	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < 𝐴))
12		remulcl 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
14		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	lenltd 11381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
16	15	3adant3r 1200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 · 𝐶)))
17	3, 11, 16	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125   · cmul 11130   < clt 11268   ≤ cle 11269   / cdiv 11896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897

This theorem is used by:  lemuldiv2  12121  lemuldivd  13136  hashdvds  16867  nmoleub2lem3  25344  mbfi1fseqlem4  25947  mbfi1fseqlem5  25948  radcnvlem1  26650  pige3ALT  26758  fsumfldivdiaglem  27426  bposlem2  27522  bposlem3  27523  bposlem4  27524  bposlem7  27527  gausslemma2dlem1a  27602  lgsquadlem1  27617  lgsquadlem2  27618  chebbnd1lem2  27707  chebbnd1lem3  27708  dchrisum0flblem1  27745  mulog2sumlem2  27772  pntibndlem3  27829  lemuldiv3d  45011  lemuldiv4d  45012  2ltceilhalf  48221  lighneallem4a  48512  divge1b  49443